高三数学第二轮复习专题7

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1、专题7立体几何江苏省黄埭中学李其龙一、填空题例1.下列结论正确的是①各个面都是三角形的几何体是三棱锥②以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥③棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是六棱锥④圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线答案：④，简单几何体基本概念与性质例2．在正方体各个表面的12条对角线中，与垂直的有_____条．答案：6，异面直线垂直判断例3．已知正四棱锥的底面边长是6，高为，这个正四棱锥的侧面积是．答案：24，正四棱锥的结构特征、侧面积的计算方法例4．已知矩形ABCD的

2、顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB＝6，BC＝，则棱锥O—ABCD的体积为．答案：，球与其它几何体的组合问题．例5．如图，在三棱锥中，三条棱，，两两垂直，且>>,分别经过三条棱，，作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为，，，则，，的大小关系为.答案：考查立体图形的空间感和数学知识的运用能力，通过补形，借助长方体验证结论，特殊化，令边长为1，2，3得.例6．若、为两条不重合的直线，、为两个不重合的平面，则下列命题中的真命题是________.①若、都平行于平面，则、一定不是相交直线；②若、都垂直于平面，则、一定是平行直线；③已知、互

3、相垂直，、互相垂直，若，则；④、在平面内的射影互相垂直，则、互相垂直．答案：①为假命题，②为真命题，在③中n可以平行于β，也可以在β内，是假命题，④中，m、n也可以不互相垂直，为假命题；故答案为②.例7．α、β为两个互相垂直的平面，a、b为一对异面直线，下列四个条件中是a⊥b的充分条件的有．①a//α，bβ；②a⊥α，b//β；③a⊥α，b⊥β；④a//α，b//β且a与α的距离等于b与β的距离．答案：③，本题主要考查空间线面之间的位置关系，特别是判断平行与垂直的常用方法．例8．一个圆锥的侧面展开图是圆心角为π，半径为18cm的扇形，则圆

4、锥母线与底面所成角的余弦值为________．　答案：　例9．已知圆锥的底面半径为R，高为3R，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是_____．答案：，将全面积表示成底面半径的函数，即可求出函数的最大值设内接圆柱的底面半径为r，高为h，全面积为S，则有，∴。∴当时，S取的最大值。故选B。例10．如图，有一圆柱形的开口容器（下表面密封），其轴截面是边长为2的正方形，P是BC重点，现有一只蚂蚁位于外壁A处，内壁P处有一米粒，则这只蚂蚁取得米粒所需经过的最短路程为答案：，倒置一个完全相同的圆柱在原圆柱上方，再展开如图，则可得最短路程为例11．

5、正四面体ABCD的棱长为1，棱AB∥平面α，则正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是　　　　.答案：，当正四面体绕着与平面平行的一条边转动时，不管怎么转动，投影的三角形的一个边始终是AB的投影，长度是1，而发生变化的是投影的高，体会高的变化，得到结果∵正四面体的对角线互相垂直，且棱AB∥平面α，∴当CD⊥平面α，这时的投影面等于正四面体的侧视图的面积，根据正四面体的性质，面积此时最大，是；当面ABC⊥平面α面积最小时构成的三角形底边是1，高是正四面体的高，面积是。∴正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取

6、值范围是。例12．已知正四棱锥中，，当该棱锥的体积最大时，它的高为_____.答案：本试题主要考察椎体的体积，考察函数的最值问题.设底面边长为a，则高所以体积，设，则，当y取最值时，，解得a=0或a=4时，体积最大，此时.例13．如图,在三棱锥中,、、两两垂直,且．设是底面内一点,定义,其中、、分别是三棱锥、三棱锥、三棱锥的体积．若,且恒成立,则正实数的最小值为________．答案：1，由题意可知，，又，得恒成立，再由基本不等式可知当是取最小值1例14．如图，在长方形中，，，为的中点，为线段（端点除外）上一动点．现将沿折起，使平面平面．

7、在平面内过点作，为垂足．设，则的取值范围是　　▲　　．答案：此题的破解可采用二个极端位置法：（1）当F点位于DC的中点时，过点D作DG⊥AF，连接BG。∵，∴。在△ABG中，∵，∴。∴在Rt△BDG中，.∴△ABD是直角三角形。∴。（2）当F点到C点时，过点D作DH⊥AF，连接BH。∵，∴∴。在△ABH中，∵，∴。∴在Rt△BDH中，。∴在△ABD中，。∴。∴的取值范围是。二、解答题例15．如图，已知直四棱柱的底面是直角梯形，，，，分别是棱，上的动点，且，，.（Ⅰ）证明：无论点怎样运动，四边形都为矩形；（Ⅱ）当时，求几何体的体积．答案：（

8、Ⅰ）在直四棱柱中，，∵，∴，又∵平面平面，平面平面，平面平面，∴，∴四边形为平行四边形，∵侧棱底面，又平面内，∴，∴四边形为矩形；（Ⅱ）证明：连结，∵四棱柱为直四棱柱，∴侧棱底面，又平面内，∴