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时间:2019-08-18
《三角恒等变换-知识点+例题+练习》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、两角和与差的正弦、余弦和正切基础梳理1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)C(α-β):cos(α-β)=cos_αcos_β+sin_αsin_β;(2)C(α+β):cos(α+β)=cos_αcos_β-sin_αsin_β;(3)S(α+β):sin(α+β)=sin_αcos_β+cos_αsin_β;(4)S(α-β):sin(α-β)=sin_αcos_β-cos_αsin_β;(5)T(α+β):tan(α+β)=;(6)T(α-β):tan(α-β)=.2.二倍角的正弦、余弦
2、、正切公式(1)S2α:sin2α=2sin_αcos_α;(2)C2α:cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α;(3)T2α:tan2α=.3.有关公式的逆用、变形等(1)tanα±tanβ=tan(α±β)(1∓tan_αtan_β);(2)cos2α=,sin2α=;(3)1+sin2α=(sinα+cosα)2,1-sin2α=(sinα-cosα)2,sinα±cosα=sin.4.函数f(α)=acosα+bsinα(a,b为常数),可以化为f(α)=s
3、in(α+φ)或f(α)=cos(α-φ),其中φ可由a,b的值唯一确定.两个技巧(1)拆角、拼角技巧:2α=(α+β)+(α-β);α=(α+β)-β;β=-;=-.(2)化简技巧:切化弦、“1”的代换等.三个变化(1)变角:目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角,其手法通常是“配凑”.(2)变名:通过变换函数名称达到减少函数种类的目的,其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.(3)变式:根据式子的结构特征进行变形,使其更贴近某个公式或某个期待的目标,其手法通常有:“常值代换”、“逆用变用公式”
4、、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.双基自测1.(人教A版教材习题改编)下列各式的值为的是( ).A.2cos2-1B.1-2sin275°C.D.sin15°cos15°2.(2011·福建)若tanα=3,则的值等于( ).3.已知sinα=,则cos(π-2α)等于( ).4.(2011·辽宁)设sin=,则sin2θ=( ).5.tan20°+tan40°+tan20°tan40°=________.考向一 三角函数式的化简【例1】►化简.[审题视点]切化弦,合理使用
5、倍角公式.三角函数式的化简要遵循“三看”原则:(1)一看“角”,通过看角之间的差别与联系,把角进行合理的拆分,从而正确使用公式;(2)二看“函数名称”,看函数名称之间的差异,从而确定使用的公式;(3)三看“结构特征”,分析结构特征,找到变形的方向.【训练1】化简:.考向二 三角函数式的求值【例2】►已知0<β<<α<π,且cos=-,sin=,求cos(α+β)的值.三角函数的给值求值,关键是把待求角用已知角表示:(1)已知角为两个时,待求角一般表示为已知角的和或差.(2)已知角为一个时,待求角一
6、般与已知角成“倍的关系”或“互余互补”关系.【训练2】已知α,β∈,sinα=,tan(α-β)=-,求cosβ的值.考向三 三角函数的求角问题【例3】►已知cosα=,cos(α-β)=,且0<β<α<,求β.通过求角的某种三角函数值来求角,在选取函数时,遵照以下原则:①已知正切函数值,选正切函数;②已知正、余弦函数值,选正弦或余弦函数;若角的范围是,选正、余弦皆可;若角的范围是(0,π),选余弦较好;若角的范围为,选正弦较好.【训练3】已知α,β∈,且tanα,tanβ是方程x2+3x+4=0
7、的两个根,求α+β的值.考向四 三角函数的综合应用【例4】►(2010·北京)已知函数f(x)=2cos2x+sin2x.(1)求f的值;(2)求f(x)的最大值和最小值.高考对两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式的考查还往往渗透在研究三角函数性质中.需要利用这些公式,先把函数解析式化为y=Asin(ωx+φ)的形式,再进一步讨论其定义域、值域和最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性等性质.【训练4】已知函数f(x)=2sin(π-x)cosx.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)
8、在区间上的最大值和最小值. 三角函数求值、求角问题策略面对有关三角函数的求值、化简和证明,许多考生一筹莫展,而三角恒等变换更是三角函数的求值、求角问题中的难点和重点,其难点在于:其一,如何牢固记忆众多公式,其二,如何根据三角函数的形式去选择合适的求值、求角方法.一、给值求值一般是给出某些角的三角函数式的值,求另外一些角的三角函数值,解题的关键在于“变角”,如α=(α+β)-β,2α=(α+β)+(α-β)等,把所求角用含已知角的式子表示,求解时要注意角的范围的讨论.【示例】►(20
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