第15讲-二次函数的最值和值域-基础

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1、二次函数课前引入二次函数是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础．在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量取任意实数时的最值情况(当时，函数在处取得最小值，无最大值；当时，函数在处取得最大值，无最小值．本节我们将在这个基础上继续学习当自变量在某个范围内取值时，函数的最值问题．．教学目标1、掌握含参数二次函数在有限区间求最值的方法。2、在练习中让学生体会分类讨论思想；知识梳理分类讨论是数学中重要的思想方法和解题策略,它是根据研究对象的本质属性的相同点和不同点,将对象分为不同种类然后逐类解决问题．一般地,对于二次函数y=a(x-m

2、)2+n，x∈[t，s]求最值的问题;解决此类问题的基本思路为：根据对称轴相对定义域区间的位置，利用分类讨论思想方法。为做到分类时不重不漏，可画对称轴相对于定义域区间的简图分类。①②③④①表示对称轴在区间［t，s］的左侧，②表示对称轴在区间［t，s］内且靠近区间的左端点，③表示对称轴在区间内且靠近区间的右端点，④表示对称轴在区间［t，s］的右侧。然后，再根据口诀“开口向上，近则小、远则大”；“开口向下，近则大、远则小”即可快速求出最值。含参数的二次函数求最值的问题大致分为两种题型，无论哪种题型都围绕着对称轴与定义域区间的位置关系进

3、行分类讨论4典例精讲例1（★★）、当时，求函数的最大值和最小值．解析：作出函数的图象．当时，，当时，．分析：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量的值．变式练习（★★）、当时，求函数的最大值和最小值．解析：作出函数的图象．当时，，当时，．分析：二次函数在自变量的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值．根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量的范围的图象形状各异．下面给出一些常见情况：

4、4例2（★★★）当时，求函数的最小值(其中为常数)．解析：函数的对称轴为．画出其草图．(1)当对称轴在所给范围左侧．即时：当时，；(2)当对称轴在所给范围之间．即时：当时，；(3)当对称轴在所给范围右侧．即时：当时，．综上所述：分析：轴定区间变二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。变式练习（★★★）已知函数，（1）若，求函数的最小值；（2），求函数的最大值。解析：4例3（★★★）已知关于的函数在上．(1)当时，求函数的最大值和最小值；(2)当为实数时，求函数的最大值．解析：

5、(1)当时，；当时，．(2)当时，；当时，．.分析：轴变区间定二次函数随着参数的变化而变化，即其图象是运动的，但定义域区间是固定的，我们称这种情况是“动二次函数在定区间上的最值”。变式练习（★★★）已知，求函数在区间上的最大值。解析：回顾总结1、二次函数的最值要考虑哪些因素？2、如何分类讨论，分类讨论标准是什么？4