《几何学悖论》PPT课件

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1、第五章几何学悖论对大多数人来说，甚至对大多数在中学及大学学习过数学的学生来说，“几何”一词意味着欧几里得平面几何，它是研究平面图形的性质，而且我们对其中的一些性质是很熟悉的。在这里，我们将按费利克斯·克来因在一百多年前提出更广义的观点来认识几何，这就是研究几何图形在确定的一组变换群下保持不变的那些性质。拓扑学作为几何学的一个分支，它是研究图形在连续变形下不变的种种性质。教学目的：1.了解几何上的一些悖论；2.对现代几何的内容有一些初步了解；3.对形成悖论的原因有一定的认识。1．绕着一个姑娘转圈假如有两个小孩捉迷藏，男孩在寻找女

2、孩藏身的地方。有一颗非常粗大的树，足以遮挡一个人的身体。男孩：啊，梅蒂尔！你在树后藏着吗？绕着一个姑娘转圈（续）当这个男孩绕着树转圈寻找女孩的时候，女孩也这样做，她绕着树横走，鼻子总是朝着树，所以那男孩始终看不到她。绕着一个姑娘转圈（续）他们这样绕树转一圈后，都回到了原来位置。这时，男孩绕女孩转了一圈吗？◆观点一：当然啰！他既然绕着树转了一圈，就必然绕着姑娘也转了一圈。◆观点二：瞎说！即使那里没有树，他也一直未能看到女孩的后背。既然是绕着一个物体转一圈怎么能看不到它的所有各面呢？这个古老的悖论一般是以猎人和松鼠的形式出现。松

3、鼠蹲在树桩上，猎人绕着树桩转的时候，松鼠也一直在转，所以它总是面向猎人。当猎人绕树转一圈后，他也绕松鼠转了一圈吗？2．月亮的不解之谜月亮总是以同一面朝向地球，当月球绕着地球转一圈以后。它绕自己的轴旋转了吗？月亮的不解之谜（续）天文学家：作为一个天文学家，我的回答是肯定的。如果你站在火星上，你就会看到每当月球绕地球转一圈，它就绕着自己的轴也转一圈。月亮的不解之谜（续）学生：它怎么旋转了呢，教授？如果它旋转了，我们就会看到它不同的各面，可是我们看到的却总是相同的那一面。一些很有知识的人都曾极认真地研究过这个简单的问题，说起来这是很

4、难使人相信的。奥古斯都·德莫尔干所著的《悖论集》一书的第一卷中，对十九世纪出版的探讨这个问题的小册子作了评述，这些小册子都是反对“月球旋转了”这一观点的。一个伦敦的业余天文学家，叫做亨利·皮瑞加尔的人在这场争论中真可谓孜孜不倦，他的讣告中有这样一段话:“在整个一生中，他在天文学上的主要目标，是使别人相信月球并没有绕轴旋转。皮瑞加尔撰写小册子、构造模型甚至写诗来证明自己的论点，愿以英雄的豪爽来承担一切努力都毫无所得而引起的一个又一个的失望。”我们现在做一个与这个月球之谜紧密相关的试验。让我们准备两个大小相等的硬币，让它们相互

5、外切地放在桌子上。一硬币沿着另一硬币的边缘无滑动地滚动，滚动中保持边缘密切相切接触，这样绕着不动的硬币转动一周以后，它本身旋转了几圈？这正像地球—月球那个问题一样，其答案也依赖于观察者的位置。相对于固定的硬币来说，它转了一圈，而相对于从上向下看的你来说，它旋转了两圈。这也曾是个激烈争论的题目。《科学美国人》杂志于一八六七年首次刊登这个问题，于是持有两种尖锐对立观点的读者的信如洪水般地涌来。读者很快就认识到了硬币问题与月球问题之间的关系。那些坚持认为硬币只旋转一圈的人也同样认为月球根本没有绕轴旋转，一位读者以激烈的口气写道：“

6、如果你抡着一只猫在你头上转圈，那么它的脑袋、眼睛和脊椎骨都在绕着自己的轴旋转吗……？转到第九圈猫就会死去吗？”3．镜子的魔力镜子是个奇妙的东西。现么梯姆斯（TIMOTHY）和丽贝卡（REBECCA）正在一个晚会上做客，晚会上每个人都戴个名片。镜子的魔力（续）丽贝卡：多么奇怪的镜子啊，梯姆！你看，它把我的名字弄反了，可是你的名字却一点儿也没变！镜子的魔力（续）镜子好象只能使左右颠倒，为什么它不能使上下也颠倒呢？这难道不是很奇怪吗？镜子的魔力（续）实际上，只有当一条线垂直于镜面时，镜子才使这条线颠倒过来。正因为这三个小球在一条与镜

7、面成直角的线上，所以它们在镜中象的顺序就倒过来了。镜子的魔力（续）如果你站在用镜子做的地板上，你身体的上下轴线垂直于镜面。这时你在镜中的象前面仍是前面，后面仍是后面，但是你却上下颠倒了。镜子的魔力（续）如果你侧着身子对镜面站着，你身体的左右轴线垂直于镜面。这时你在镜中的象脑袋还是在上面，前面仍是在前面，但是你却被左右颠倒了。镜子的魔力（续）当你面对镜子站着的时候，你在镜中的象的脑袋仍是在上面，你的左面仍是在左面，可是你却被前后颠倒了。你的象中左手的位置和你走到镜面后再转过身来时左手的位置正好相反，因此我们说你被左右颠倒了。镜子

8、的魔力（续）在这幅画面中有两个英语字单词，为什么镜子只把其中的一个词颠倒了？实际上并非如此！另一词DIXIDE也同样被颠倒了，只不过它的对称性使它倒过来以后看起来仍和原来一样。镜子的魔力（续）你能猜出当两个镜面垂直放置时会发生什么现象吗？这时镜子里的象将与平常镜中的象不同，它