几何学悖论(5)：兰迪先生的奇异地毯

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1、几何学悖论(5)：兰迪先生的奇异地毯几何学悖论(5)：兰迪先生的奇异地毯几何学悖论(5)：兰迪先生的奇异地毯几何学悖论(5)：兰迪先生的奇异地毯　　　　M：世界著名的魔术家兰迪先生有一块长宽都是13分米的地毯，他想把它改成8分米宽21分米长的地毯。　　M：兰迪先生拿着这块地毯去找地毯匠奥马尔。　　兰迪：奥马尔，我的朋友！我想让你把这块地毯裁成四块，再把它们缝在一起成为一块8分米×21分米的地毯。　　奥马尔：很遗憾，兰迪先生。您是个伟大的魔术家，可是您的算术竟这样差！13乘13是169，8乘21是168.这

2、怎么能办得到呢？　　兰迪：我亲爱的奥马尔！伟大的兰迪是从来不会错的。劳您的驾把这块地毯裁成这样的四块。　　M：奥马尔象他所说的那样做了。过后兰迪先生把这四块重新摆一下，再让奥马尔把它们缝在一起，这样就得到了一块8分米×21分米的地毯。　　奥马尔：这怎么可能呢？地毯面积由169分米2缩小到168分米2！那一平方分米哪里去了？　　M：几个月之后，兰迪先生又拿来一块长宽都是12分米的地毯。　　兰迪：奥马尔，老伙计！我的电热器翻倒了，结果把这块美丽的地毯烧坏了。把它剪裁一番再缝上，很容易就可去掉这个窟窿。　　M：

3、奥马尔表示怀疑，但他还是按兰迪所教的方法做了。　　把裁好的几块缝在一起之后，它仍然是长宽各12分米但那个窟窿却消失了！　　奥马尔：兰迪先生，请讲一讲，你是怎么做的？补上这个窟窿的那一平方分米是从哪里来的？　　这个古老的故事是这样的令人惊奇和难以解释，值得我们化费一些时间动手按照所说的方法做一做。我们在作图纸上画一个正方形。把它剪成四块，重新安排一下，拼成一个长方形。除非这个图做得很大并且作图和剪裁都搞得十准确，人们是不会发现拼接成的长方形在主对角线附近发生了微小的重叠。正是沿对角线的这点不完美的叠合导致丢

4、失了一个单位的面积。如果学生们不相信这一点的话就让他们计算一下长方形对角线的斜率以及拼接前各片相应边的斜率，再把它们加以比较就会清楚了。　　如果先画出上边所说的这个长方形，按图示把它剪成四块，再拼成正方形，这时这个正方形又会怎样呢？这是在课堂上学生们可能希望探讨的问题。　　上文涉及到四个长度：5，8，13，和21，我们会认出这是一个著名的数列中的四项。可以让学生找出这个数列各项的构成规律。显然，这就是有名的菲波拿齐数列，它的每一项都是前两项之和：1，1，2，3，5，8，13，21，34，……。　　学生们可

5、使用这个数列的其它相邻四项来试验上述过程，无论选取哪四项，他们都会发现所作出的正方形和长方形的面积是不会相等的，但有时长方形比正方形小一个单位面积，有时长方形此正方形大一个单位面积。我们应该进一步确定，什么时候在拼接成的长方形中失去一个单位面积，也就是说在长方形的对角线附近有个呈菱形形状的重叠，什么时候长方形又会多得一个单位的面积，也就是说在拼接成的长方形对角线上出现一个菱形的空隙。　　对这个菲波拿齐数列多做几次上述的试验，有人就会凭直观得出菲波拿齐数列的一个重要性质：这个数列任一项的平方等于它前后相邻两

6、项之积加1或减l.用公式表示，则为：　　tn2=±1　　左边tn2是正方形的面积，右边±1是长方形的面积。当n从小到大依次取正整数时，上式中的正负号交替出现。如果一数在该数列中的位置数，即它的项数是奇数，则这个数的平方较前后相邻两偶数项之积多1；反之，偶数项的平方较前后相邻两奇数项之积少1.知道了这一事实，我们就可以预见由正方形剪接而成的长方形是多得了一个单位面积还是丢失了一个单位面积。　　上面的这个菲波拿齐数列以1，1两数开始，广义的菲波拿齐数列可以从任意两数开始。用另外的一些菲波拿齐数列做上述试验，学

7、生仍将会发现一些新东西。比如说，用数列2，4，6，10，16，……做试验，就会多得或丢失四个单位面积，数列3，1，7，11，18，……的“得”或“失”是五个单位面积。　　设a，b，c是一个广义菲波拿齐数列相邻的三项，以x表“得”或“失”的数字，则下面两式成立：　　我们可以用任何一个设想的得失数来代式中的x，用任何一个数来代式小的正方形边长b，然后解上面的联立方程就会求得a和c的值，当然这样求得的值不一定是有理数。　　学生们一定会喜欢这样一个十分有趣的问题：把正方形按上述方法剪成四块，是否会拼接成一个与它面

8、积相等的长方形？　　为了回答这个问题，令第二个方程中x等于零，解这个方程组，用a表示b，则得到唯一的正解是　　上式中的恰是著名的黄金分割比，通常用Ф来表示。它是一个无理数，等于……。这就是说，唯一的每项平方等于前后相邻两项之积的菲波拿齐数列是　　1，Ф，Ф+1，2Ф+1，3Ф+2，……　　这对学生来说是做根式演算的一个很好的练习。　　只有用上面这个数列相邻两项表示的长度来分割正方形才会得到本段所述的几何悖论的另外一种形式：长方