§5-3z变换的基本性质

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1、§5-3Z变换的基本性质一、线性设有z变换对则有序列组合后，其z变换的收敛域一般会变小。例如：其z变换其中收敛域所以收敛域收敛域例如：其中u(n)的z变换收敛域其中u(n-1)的z变换收敛域而δ(n)的z变换收敛域在整个z平面。如果，序列各部分z变换的和，有零极点相抵消的情况，序列z变换的收敛域可能增大。二、位移性z变换的位移性相当于拉氏变换的时域微分性，特别是单边z变换的位移性，主要应用于差分方程的求解。1、双边z变换的位移性：设序列及其z变换序列移位后的z变换从上可以看出，序列位移后其z变换除增加了原点或无穷远处的极点外，收敛域不发生变化。例如：δ(n

2、)的z变换等于1，其收敛域为整个z平面；δ(n-m)的z变换等于z-m，收敛域是除去原点外的z平面。双边z变换的位移性，不管是左移还是右移，其性质的表示式是一样的。2、单边z变换的位移性：单边z变换的位移性，在序列是因果的与非因果，左移还是右移时，其表示式是不同的。单边z变换的定义式是：⑴因果序列：x(n)=x(n)u(n)i、右移：x(n-m)=x(n-m)u(n-m)ii、左移：x(n+m)=x(n+m)u(n+m)以上结果可以这样解释：当序列右移时，相对于原序列在求单边z变换时没有增加，也没有减少任何样值信息，所以其表示式与双边z变换的表达式相同。而

3、当序列左移时，相对于原序列在求单边z变换时，减少了样值信息，因此应该减去这些样值对应的信息。例如：x(n)=u(n)，其z变换等于则x(n-m)=u(n-m)，其z变换等于则x(n+m)=u(n+m)，其z变换等于这应该与想象的结果一致：u(n)左移后的单边z变换不变。ii、左移：x(n+m)，与因果序列单边z变换的表达式一样。⑵非因果序列：x(n)可能是有始的，也可能是双边的。i、右移：x(n-m)以上结果也可以解释为：当序列右移时，相对于原序列在求单边z变换时增加了m个样值信息，所以其表示式应该在原序列单边z变换的基础上，加上这m个样值的信息。序列左移

4、与前所述相同。在利用单边z变换求解差分方程时，输入序列往往设定为n=0时刻作用于系统的，因此输入序列被看成是因果序列。输出序列不仅有零状态分量，还有零输入分量，因此输出序列被看成是非因果序列。例如：差分方程与输入序列x(n)及y(-1)如下，试求输出序列y(n)的z变换。解：对方程两边同求单边z变换三、z域微分性设序列及其z变换z域微分性是z域微分性由z变换的定义式很容易证明。可以证明K次相同运算记作例如：四、z域尺度变换设序列及其z变换则有例如：五、反褶与共轭设序列及其z变换则有例如：六、时域扩展设序列及其z变换则有当七、卷积定理设序列及其z变换1、时域

5、卷积定理2、z域卷积定理例如：已知序列及其z变换八、初值与终值定理z变换的初值定理，是对单边z变换而言的。即设序列及其单边z变换为则有初值定理z变换的终值定理，是对序列是因果的，且其终值存在。于是有例如：于是