§2.2函数的基本性质

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1、课标版理数§2.2　函数的基本性质1.函数的单调性(1)单调函数的定义知识梳理增函数减函数定义一般地,设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1,x2当x1f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是③逐渐上升的自左向右看图象是④逐渐下降的(2)单调区间的定义若函数f(x)在区间I上是⑤单调增函数或⑥单调减函数,则称函数f(x)在这一区间上具有单调性,区间I叫做

2、y=f(x)的单调区间.2.函数的最值前提设函数y=f(x)的定义域为A,如果存在x0∈A,使得对于任意的x∈A,都有条件f(x)≤f(x0)f(x)≥f(x0)结论ymax=f(x0)ymin=f(x0)3.奇、偶函数的概念一般地,设函数y=f(x)的定义域为A.如果对于任意的x∈A,都有⑦f(-x)=f(x),那么称函数y=f(x)是偶函数.如果对于任意的x∈A,都有⑧f(-x)=-f(x),那么称函数y=f(x)是奇函数.奇函数的图象关于⑨原点对称;偶函数的图象关于⑩y轴对称.4.奇、偶函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上

3、的单调性相同,偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反.(2)在公共定义域内a.两个奇函数的和是奇函数,两个奇函数的积是偶函数;b.两个偶函数的和、积都是偶函数;c.一个奇函数,一个偶函数的积是奇函数.5.周期性(1)周期函数:对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有f(x+T)=f(x),那么就称函数y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期.(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.6.对称性若函数f(x)满足f(a-

4、x)=f(a+x)或f(x)=f(2a-x),则函数f(x)的图象关于直线x=a对称.1.下列函数中,在区间(0,1)上是增函数的是(　    )A.y=

5、x

6、　    B.y=3-xC.y=D.y=-x2+4答案    Ay=3-x在R上递减,y=在(0,+∞)上递减,y=-x2+4在(0,+∞)上递减,故选A.2.已知f(x)为奇函数,在[3,6]上是增函数,且在[3,6]上的最大值为8,最小值为-1,则2f(-6)+f(-3)等于(　    )A.-15　    B.-13　    C.-5　    D.5答案    A　∵函数在

7、[3,6]上是增函数,∴f(6)=8,f(3)=-1,又函数为奇函数,∴2f(-6)+f(-3)=-2f(6)-f(3)=-2×8+1=-15,选A.3.若偶函数f(x)在(-∞,-1]上是增函数,则下列关系式中成立的是(　    )A.f

8、时,f(x)=-(x+2)2;当-1≤x<3时,f(x)=x,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2012)等于(　    )A.335　    B.338　    C.1678　    D.2012答案    B　由f(x+6)=f(x)得f(x)的周期为6,所以f(1)+f(2)+…+f(2012)=335[f(1)+f(2)+…+f(6)]+f(1)+f(2),而f(1)=1,f(2)=2,f(3)=f(-3)=-1,f(4)=f(-2)=0,f(5)=f(-1)=-1,f(6)=f(0)=0,f(1)+f(2)+f(3)+…

9、+f(6)=1,所以f(1)+f(2)+…+f(2012)=338,故选B项.5.已知函数f(x)=x+bcosx,其中b为常数,那么“b=0”是“f(x)为奇函数”的(　    )A.充分而不必要条件　    B.必要而不充分条件C.充分必要条件　    D.既不充分也不必要条件答案    Cf(x)为奇函数⇔f(-x)=-f(x)(x∈R)⇔-x+bcos(-x)=-x-bcosx(x∈R)⇔bcosx+bcosx=0(x∈R)⇔b=0,故选C.典例1    (1)(2014北京,2,5分)下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的

10、是(　    )A.y=B.y=(x-1)2C.y=2-xD.y=log0.5(x+1)(2)(2014天津武清三模)函数f(x)=max{x2-x,1-x2}的单调增区间是(　    )A.,[1,+∞)