高等数学方明亮34函数的单调性与曲线的凹凸性

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1、第四节函数的单调性与曲线的凹凸性第三章三、小结与思考练习二、函数的凹凸性及拐点一、函数单调性的判定法(MonotonicityofFunction&ConcavityandConvexityofCurve)7/16/20211一、函数单调性的判定法7/16/202121.利用导数来判定函数的单调性7/16/20213解:单调区间为7/16/20214基本步骤:(1)确定定义区间;(2)求函数f(x)的导数;(3)找出驻点(导数为零的点)和导数不存在点;(4)以驻点和导数不存在点为分界点,把定义区间分成若干个小区间,并讨论在这些小区间上,导数的符号

2、,进而确定单调区间。7/16/202152.利用导数来证明不等式证明:令则7/16/202163.利用导数来证明方程根的唯一性提示:令7/16/20217二、函数的凹凸性及拐点(InflectionPoint)1、曲线凹凸的定义显然,曲线AB与BC都是单调增加的,但它们单调增加的变化方式却有所不同。这说明:仅靠单调性来描述曲线的性态是不够的。为此,我们有必要研究一下曲线的弯曲方向问题。7/16/20218图形上任意弧段都位于所张弦的下方于是上式变为x7/16/20219直接利用定义来判别曲线的凹凸性是比较困难的,下面利用二阶导数来判别曲线的凹凸性

3、.7/16/2021102、曲线凹凸性的判定(证明略)7/16/2021113、拐点的定义7/16/202112解:凹的凸的凹的拐点拐点7/16/2021134、利用凹凸性来证明一些不等式本题思路:7/16/2021141.函数单调性的判别法(定理1)内容小结(1)会利用导数来判定函数的单调性(2)会利用导数来证明一些不等式(3)利用导数来证明方程根的唯一性2.函数凹凸性的定义3.函数凹凸性的判别定理(定理2)(1)拐点的定义(会求拐点和凹凸区间)(2)会利用凹凸性来证明一些不等式7/16/202115习题3-41;3(2)(4);5(奇数题);

4、6;8课后练习思考练习答案:不能断定.例如,7/16/202116但当时,当时,注意可以任意大,故在点的任何邻域内,都不单调递增.7/16/2021177/16/202118考研真题提示:7/16/202119提示:7/16/202120

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