高等数学之多元函数积分学(I)

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1、第六节一、格林公式二、平面曲线积分与路径无关的条件机动目录上页下页返回结束格林公式、平面曲线积分与路径无关的条件第九章设D为平面区域,如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D,则称D为平面单连通区域,否则称为复连通区域.复连通区域单连通区域DD一、格林公式1.单连通域与复连通域定理12、格林公式边界曲线L的正向:当观察者沿边界行走时,区域D总在他的左边.例1.计算解:令故L为以和为边的三角形的正向闭曲线.例2.计算其中D是以O(0,0),A(1,1),B(0,1)为顶点的三角形闭域.解:令,则利用格林公式,有机

2、动目录上页下页返回结束解xyoLyxoxyo(注意格林公式的条件)计算平面面积例如,椭圆所围面积GyxoBA如果在区域G内有二、曲线积分与路径无关的条件1、曲线积分与路径无关的定义二、平面曲线积分与路径无关的条件定理2.设D是单连通域,在D内具有一阶连续偏导数,(1)沿D中任意光滑闭曲线L,有(2)对D中任一分段光滑曲线L,曲线积分(3)(4)在D内每一点都有与路径无关,只与起止点有关.函数则以下四个条件等价:在D内是某一函数的全微分,即说明:根据定理2,若在某区域内则2)求曲线积分时,可利用格林公式简化计算

3、,3)可用积分法求du=Pdx+Qdy在域D内的原函数:及动点或则原函数为若积分路径不是闭曲线,可添加辅助线;取定点1)计算曲线积分时,可选择方便的积分路径;定理2目录上页下页返回结束例4.计算其中解:由于因此所给曲线积分与路径无关，由图形可知为圆周在第一象限内的弧段.因为在上，因为在上，例5.计算其中L为上半从O(0,0)到A(4,0).解:为了使用格林公式,添加辅助线段它与L所围原式圆周区域为D,则例6.验证是某个函数的全微分,并求出这个函数.证:设则由定理2可知,存在函数u(x,y)使。。机动目录上页下

4、页返回结束内容小结1.格林公式2.等价条件在D内与路径无关.在D内有对D内任意闭曲线L有在D内有设P,Q在D内具有一阶连续偏导数,则有作业P156：2；3；5（1）.