资源描述：
《高等数学题库第09章(多元函数积分学)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、第9章多元函数积分学习题一一、填空题1.当函数f(x,y)在有界闭区域D上时，f(x,y)在D上的二重积分必存在；2.D为圆形闭区域x2y24,贝93.改变积分次序(1)(2)(3)dD20dxf(x,y)dy,x2x40dx12x3x2f(x,y)dy,22xdx01x20f(x,y)dydx10fi(x,y)dy；二、利用二重积分的性质估计二重积分I(xyl)dD的值，其中D是矩形闭区域：0x1,0y2o三、计算下列积分的值1.(3x2y)d,其中D是由两坐标轴及直线xy2所围成的闭区域。D22(xyx)d,先写出该二重积分的两个二次积分，然后求其值，其D
2、2.已知I中D是由直线y2,yx及y2x所围成的闭区域。3.xyed,D{(x,y)xy1}.D4.*sinyyx,x0,y,y围成。由d,D2yD四*、利用极坐标计算下列各题1.2222sinxyd,D:xy1;D2.3.oy22d,D:1xy4,y0,yx;xDDx2y22dxdy,D{(x,y)x2y23}.习题二1.把一元定积分的数学模型推广到二维空间，可以得到一个式子nf,fx,ydDOiiili,你对这个式子耍说些什么？回顾一元定积分的定义，可以对推广来的这个式子描述出一个完整的数学模型，被称为二重积分的定义，你将获得一次创造思维的锻炼，对微元法模
3、型的理解会更深刻，不妨一试.答：在式0fiiiIni中，i表示将平面区域D任意分割成n份后所得第i个小区域的面积,(i,i)是取自于第i个小区域内的任何一点的坐标，f(i,i)是二元函数zf(x,y)在点(i,i)处的函数值，表示所有n个小区域的直径中的最大值.上式即表示,当函数zf(x,y)在平面区域D内有定义时,可将平面区域D任意分割成n个小区域，记i为第i个小区域的面积，然后在第i个小区域中任取一点(i,i),作乘积f(i,i)fi,ii存在，i的和fi,ii,若此和式的极限OiliInn则称二元函数zf(x,y)在区域D上可积，并称上述极限值为二元函数
4、zf(x,y)在区域D上的二重积分.2.试述二重积分的几何意义.答：当fx,y在区域D上满足fx,y0时，fx,yd代表以xOy面内的区域DD为底，以曲面zfx,y为顶的曲顶柱体的体积.若fx,y0,则表示体积的负值.3.直角坐标系下，计算二重积分的主要步骤有哪些，其关键点是什么？答：主要步骤包括：①画岀积分区域D的图形，②选择积分次序并确定积分限，③计算累次积分求得结果.其关键点是恰当选择积分次序，正确确定积分限.4.在极坐标系下，计算二重积分的主要步骤有哪些，其关键点是什么？答：主要步骤包括：①画岀积分区域D的图形，并用极坐标描述D,②确定积分限,③计算累
5、次积分求得结杲•其关键点是用极坐标正确描述积分区域D.5.就一重积分的积分域而言，当积分域具有什么样的特征时，选择在直角坐标系(或极坐标系)下计算该二重积分.答：当积分域为圆形域，扇形域或形域时，选择极坐标系下计算该二重积分，其它型的积分域，一般均选择直角坐标系下计算该二重积分.6•当被积函数具有何种特征时，选择在直角坐标系(或极坐标系)下计算该二重积分方便.答：当被积函数中含有x2y2的项时，选择极坐标系下计算二重积分方便，其他情形，一般选择直角坐标系下计算二重积分.7.计算100xyd，其中Dx,yOx1,1y1.D解：如图，先对x后对y积分，则1100x
6、yddy10100xydxD1xdylOOyx1201121201)dy121201110201201.=ydy122及xl,x2所8•计算e6xyd,其中D由xOy面上的直线y1围成.(yD1x2,先对x后对y积分，得解：如图,D：iy2,2yieD6xyd=edyedx12y226xe6x=(e)(169o计算)1114(eel3e4e5).62222Dx,yxy1.,其中In100xyd解：令xrcos,yrsin,则D可表为:0r1,02k,从而2=ln100xyddln(100r)rdr222k1D00=2tt[(100r)ln(100r)r]r2皿
7、1_1O2XiO1X-1122221=(1011nl01lOOlnlOO1)tt.10•计算222222D,其中是由圆周与所围成的平面区域.xylxy47cydD解：令xrcos,yrsin,则D可表为：1r02兀从而222yddrsinrdrD012n27t2兀0r4d(sin2)41427T=4兀127t1cos2d0422兀sin2411=4兀4240=4兀11・画出二次积分积分次序.5兀.44y224y220dy2fx,ydx的积分区域D并交换0y2,解：D：2224yx24y0x4,的图形如右图，由图可知，D也可表为20y4xx,所以交换积分次序后，
8、得Odx04xxfx,ydy.212.
