高等数学下第十一章第八节

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1、§8一般周期函数的傅里叶级数定理设周期2l的函数f(x)满足收敛定理的条件，则可展开成如下形式的傅里叶级数：其中n0,1,2,…,n1,2,…。证作变量代换则F(z)以2为周期且满足收敛定理的条件，可展成傅里叶级数：显然lxlz；一、周期2l的函数的傅里叶级数注意到F(z0)f(x0)，得其中系数(1)周期2l的奇函数f(x)的傅里叶级数是正弦级数说明n1,2,…。(2)周期2l的偶函数f(x)的傅里叶级数是余弦级数n0,1,2,…。2244xy解f(x)满足收敛定理的条件，l2。例1(P252)设f(x)

2、周期为4，它在[2,2)上的表达式为k0,将它展成傅里叶级数。n1,2,…。(3)定义在[l,l]或[0,l]上的函数也可展成傅里叶级数，只需类似地进行周期延拓或奇、偶延拓。k例2设以4为周期的奇函数f(x)满足收敛定理的条件，试写出其傅里叶级数的形式表达式。解这里2l4，l2，f(x)是奇函数，傅里叶级数为说明：题中f(x)即使不满足收敛定理的条件，只要它在[0,2]上可积，也可形式地写出它的傅里叶级数但此级数不一定收敛于f(x)。例3解实际上是求f(x)x在[0,1]上的余弦级数的系数。0x1。解作变量代换zx10，则5

3、x155z5，例4将函数f(x)10x(5x15)展开成傅氏级数。n1,2,…。5z5。f(x)zF(z)，F(z)是奇函数。补充定义F(5)5，再将F(z)作周期T10的周期延拓，显然延拓后的函数满足收敛定理的条件，且在(5,5)内收敛于F(z)。说明：为了通过变量代换xAtB把定义在[a,b]上的函数f(x)变为[,]上的函数F(t)f(AtB)，应使利用欧拉公式，可将周期2l的函数f(x)的傅里叶级数表示为复数形式。二、傅里叶级数的复数形式其中n1,2,…；n1,2,…。统一起来：n

4、0,1,2,…。其中小结(1)周期2l的函数f(x)的傅里叶级数：n0,1,2,…。其中(2)周期2的函数f(x)的傅里叶级数：n0,1,2,…。(3)这里的傅里叶级数称为复数形式或指数形式，以前的称为实数形式或三角形式，二者是同一事物的不同表现形式，复数形式表示的也是实函数。(4)由复数形式的傅里叶系数求实数形式的傅里叶系数：n0,1,2,…；n1,2,…。