同济六版高等数学第一章第八节

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1、一、函数的连续性二、函数的间断点§1.8函数的连续性与间断点上页下页铃结束返回首页一、函数的连续性变量的增量设函数y=f(x)在点x0的某一个邻域U(x0)内有定义下页称Dy=f(x0+Dx)-f(x0)函数y的增量为在邻域U(x0)内若自变量x从初值x0变到终值x1则称Dx=x1-x0为自变量x的增量DxDy函数的连续性定义提示:下页设x=x0+Dx则当Dx0时xx0因此设函数y=f(x)在点x0的某一个邻域内有定义如果那么就称函数y=f(x)在点x0处连续Dy=f(x0+Dx)-f(x0)讨论:如何用e-d语言叙述函数

2、的连续性定义？e>0d>0当

3、x-x0

4、

5、f(x)-f(x0)

6、

7、)内是连续的这是因为函数P(x)在(-+)内任意一点x0处有定义并且下页如果区间包括端点那么函数在右端点连续是指左连续在左端点连续是指右连续2函数y=sinx在区间(-+)内是连续的这是因为函数y=sinx在(-+)内任意一点x处有定义并且首页连续函数在区间上每一点都连续的函数叫做在该区间上的连续函数或者说函数在该区间上连续连续函数举例二、函数的间断点间断点的定义设函数f(x)在点x0的某去心邻域内有定义在此前提下如果函数f(x)有下列三种情形之一(1)在x0没有定义则函数f(x)在点x0不连续

8、而点x0称为函数f(x)的不连续点或间断点(2)虽然在x0有定义但f(x)不存在(3)虽然在x0有定义且f(x)存在但f(x)f(x0)下页间断点分类:第一类间断点:及均存在,若称若称第二类间断点:及中至少一个不存在,称若其中有一个为振荡,称若其中有一个为为可去间断点.为跳跃间断点.为无穷间断点.为振荡间断点.间断点举例例1下页例2当x0时函数值在-1与+1之间变动无限多次所以点x=0是函数的间断点所以点x=0称为函数的振荡间断点下页间断点举例所以点x=1是函数的间断点如果补充定义令x=1时y=2则所给函数在x=1成为连

9、续所以x=1称为该函数的可去间断点例3下页间断点举例所以x=1是函数f(x)的间断点如果改变函数f(x)在x=1处的定义令f(1)=1则函数在x=1成为连续所以x=1也称为此函数的可去间断点例4下页间断点举例因函数f(x)的图形在x=0处产生跳跃现象我们称x=0为函数f(x)的跳跃间断点例5下页间断点举例思考与练习1.讨论函数间断点的类型.答案2.确定函数间断点的类型.答案3.p65第4题作业P653（2）（3）（4）1.讨论函数x=2是第二类无穷间断点.间断点的类型.答案:x=1是第一类可去间断点,解:间断点为无穷间断点;故为跳

10、跃间断点.2.确定函数间断点的类型.