高等数学下第十章第三节复习

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1、§3格林公式及其应用一、区域的连通性及区域边界的方向设D为平面区域，如果D内任一闭曲线所围的部分都属于D，则称D为平面单连通区域，否则称为复连通区域。复连通区域单连通区域DD边界曲线L的正向:当观察者沿边界行走时，区域D总在他的左边。二、格林公式定理1设闭区域D由分段光滑曲线L围成，函数P(x,y)、Q(x,y)在D上具有一阶连续偏导数,则成立格林公式：其中L是D的取正向的边界曲线。证明(1)区域D既是X型又是Y型，即平行于坐标轴穿过D内部的直线与D的边界L恰好交于两点，这样D可表示为下面的两种形式：yxOabDcdABCE同理可

2、证yocxdDCEBA(2)若区域D不符合(1)的要求，则可将D分成若干个符合要求的小区域。如图,D两式相加得将D分成三个既是X型又是Y型的小区域D1,D2,D3，则说明：1.格林公式的实质:沟通了沿闭曲线的积分与二重积分之间的联系。2.便于记忆的形式3.格林公式对于复连通区域也成立(证明(2)含有这种情形)，但应注意：外面的边界方向逆时针，里面的边界方向顺时针。设平面区域D的边界曲线L，则其面积三、应用举例1.用曲线积分表示平面区域的面积(P=0,Q=x)(P=y,Q=0)例1(P174)解L：x=acos,y=bsin,

3、ab2.计算二重积分xyO解令P=0,Q=,则例2计算,其中是D以O(0,0),A(1,1),B(0,1)为顶点的三角形闭区域。(P175)DxyOL4.计算非封闭曲线上的曲线积分AB3.计算闭曲线上的曲线积分(P172例2)解引入闭曲线例3计算,其中积分曲线是半径为r的圆在第一象限的部分(如图)。ABOD解5.偏导数在区域内有不连续点例4(P146)计算，其中L为一条无重点，分段光滑且不经过原点的连续闭曲线，L的方向为逆时针方向。yxOxyOL(1)当(0,0)D时，(2)当(0,0)D时，由格林公式作位于D内的小圆周l

4、:把L和l围成的闭区域记作D1，应用格林公式得(l逆时针方向)xy(注意格林公式的条件)O小结：计算第二类曲线积分时，如果被积函数或曲线L的方程较复杂，应首先考虑使用格林公式。若L不是闭曲线，可适当添加曲线(通常是直线段)使之与L构成闭曲线，再用格林式。2.若L围成的区域D内含有的不连续点P0,应选取适当的闭曲线(通常是以P0为中心的小圆)将点P0从D内挖去，再在剩余的区域上应用格林公式。GyxO四、平面曲线积分与路径无关的条件BA如果对于区域G内任意两点A、B及G内从A到B的任意两条曲线L1、L2,等式1定义：恒成立，则称曲线积

5、分无关，否则称为与路径有关。在G内与路径2.曲线积分与路径无关的条件在G内与路径无关(或沿G内任意闭曲线的曲线积分为零)的充要条件是：在G内恒成立等式定理2设G是一个单连通开区域，函数P(x,y)、Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数，则曲线积分GD充分性在G内任取两点A、B并任取两条ABL1从A到B的光滑曲线L1、L2，把L1、L2围成的区域记作D，则L2证明必要性取正向，有矛盾。对于含于G内的圆L：因QxPy在点(x0,y0)连续，故r0,当G说明：1.在定理的条件下，在G内下列结论等价：(1)G是单连通区域是为了保证G

6、内的任意闭曲线围成的区域DG；(2)P、Q有一阶连续偏导数是为了应用格林公式。GAB(1)与路径无关；(2)对于G内任一闭曲线C，；(3)2.定理的两个条件缺一不可：例6求，L为抛物线y=x21上从点解令所以积分与路径无关。选择如图所示的路径：xyABA1B1A(1,0)到点B(2,3)的一段弧。AA1+A1B+B1B，则xyAB说明：本题不能选用图中虚线所示的路径。一般地，利用积分与路径无关简化计算时，通常选用直线段或折线段，但要特别注意：所选线段与原曲线所围成的区域内，Py、Qx一定要连续。五、二元函数的全微分证明必要性

7、定理3设G是一个单连通开区域，函数P(x,y)、Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数，则微分的充要条件是：在G内恒成立等式P(x,y)dx+Q(x,y)dy在G内为某函数u(x,y)的全充分性任取而Py、Qx连续，即uxy、uyx连续，故uxy=uyx=Py=Qx。因积分与路径无关，故在G内定义了一个单值的二元函数。(x,y)(x0,y0).(x+x,y)u(x+x,y)u(x,y)=(x,y)(x0,y0).(x+x,y)其中01。同理这样证明了du=P(x,y)dx+Q(x,y)dy。求u(x,y)的方法..M(

8、x,y)xy在区域G内选定一点M0(x0,y0)并任取一点M(x,y)，沿平行于坐标轴从M0到M的折线L1或L2计算曲线积分得或注：由于常数。例7(P151)验证：某个函数的全微分，并求出一个这样的函数。解xy取积分路径如图所示，得：.(1,0)(