高等数学 第八节 函数的连续性

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1、第八节函数的连续性一、连续函数的概念二、函数的间断点三、连续函数的四则运算四、反函数的连续性五、复合函数的连续性六.初等函数的连续性一、连续函数的概念极限形式增量形式1、连续性概念的增量形式在某过程中,变量u的终值u2与它的初值u1的差u2u1,称为变量u在u1处的增量,记为u=u2－u1.定义u是一个整体记号,它可以取正值、负值或零.有时我们也称u为变量u在u1处的差分.设函数f(x)在U(x0)内有定义,xU(x0),则称x=xx0为自变量x在x0点处的增量.=f(x0+x)f(x0)y=f(x)f(x0)xyOx0xxyy=f(x)此时,x

2、=x0+x,相应地,函数在点x0点处有增量y连续性概念的增量形式则称f(x)在点x0处连续.设f(x)在U(x0)内有定义.若定义自变量的增量趋于零时,函数的增量也趋于零.设f(x)在U(x0)内有定义,若则称函数f(x)在点x0处是连续的.2、函数连续性的定义(极限形式)函数的连续性是一个局部性的概念,是逐点定义的.定义是整个邻域函数f(x)在点x0处连续,应该满足以下三点：(1)f(x)在U(x0)内有定义；(包括在点x0处有定义)(极限值等于函数在点x0处的函数值)函数y=x2在点x=0处是否连续?函数y=x2在点x=0处连续.又且y=x2在U(0)内有定义

3、,例1解3.函数的左、右连续性设函数f(x)在[x0,x0+)内有定义.若则称f(x)在x0点处右连续.设函数f(x)在(x0–,x0]内有定义.若则称f(x)在x0点处左连续.其中,为任意常数.定义函数在点x0连续,等价于它在点x0既左连续又右连续.定理讨论y=

4、x

5、,x()在点x=0处y=

6、x

7、在点x=0处连续.xyy=

8、x

9、O的连续性.例2解讨论函数f(x)=x2,x1,在x=1处的连续性.函数f(x)在点x=1处不连续.故函数f(x)在点x=1处是左连续的.x+1,x>1,但由于例3解4.函数在区间上的连续性设函数f(x)在开区间(a,

10、b)内有定义.若x0(a,b),f(x)在点x0处连续,则称f(x)在开区间(a,b)内连续,记为f(x)C((a,b)).定义若f(x)C((a,b)),且f(x)在x=a处右连续,在端点x=b处左连续,则称函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,记为f(x)C([a,b]).对半开闭区间和无穷区间可类似定义连续性定义一般地,如果函数f(x)在区间I上连续,则记为f(x)C(I).连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.现在有了连续性的概念,可把此结论表述为:基本初等函数在其定义域内每点处均连续.即,基本初等函数在其定义域内是连续的.二、函数的间断点通常将函数

11、的不连续点叫做函数的间断点.函数f(x)在点x0处连续,应该满足以下三点：(1)f(x)在U(x0)内有定义；(包括在点x0处有定义)(极限值等于函数在点x0处的函数值)(1)f(x)在x0处无定义.若函数在点满足下述三个条件中的任何一个,则称函数在点处间断,点称为函数f(x)的一个间断点：定义求函数间断点的途径:(1)f(x)在x0处无定义,但f(x)在内有定义.(2)中至少有一个不存在.(3)存在,但不相等.(4)但af(x0).2.函数间断点的分类函数的间断点第一类间断点第二类间断点跳跃可去无穷振荡其它(1)第一类间断点若x0为函数f(x)的一个间断点,且f(x)

12、的第一类间断点.则称x0为函数定义讨论函数f(x)=x+1x>0sinxx<0在x=0处的连续性.yxO1y=sinxy＝x+1由图可知,函数在点x0处间断.例4故x=0是f(x)的第一类间断点.将左、右极限存在但不相等的间断点,称为函数的跳跃型间断点.解讨论函数在x=1无定义,故x=1为函数的第一类间断点.x=1为函数的间断点.yxO11P(1,2)y＝x+1进一步分析该间断点的特点.例5解补充定义则函数f*(x)在x=1连续.f*(x)=2x=1即定义分析这种间断点称为可去间断点.处函数值后,可得到一个新的连续函数,故将在且相等,即极限存在,经过补充定义间断点这个

13、间断点的特点是该处的左、右极限存补充定义f*(x)=,x=x0跳跃型间断点可去间断点第一类间断点左右极限存在极限不相等极限相等、补充定义(2)第二类间断点凡不属于第一类的间断点,称为函数的第二类间断点.这算定义吗？定义即左右极限至少有一个不存在的点.讨论函数xyO在x=0无定义,x=0为函数的间断点,故x=0为函数的第二类间断点.所以称它为无穷间断点.由于例6解在x=0处无定义,又不存在,故x=0为函数的第二类间断点.看看该函数的图形.例7解O11xy无穷型间断点其它间断点第二类间断点左右极限至少有一个不存在左右极限至少有一