高等数学第八章第八节

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1、第八节多元函数的极值二、极值存在的必要条件与充分条件三、最大值与最小值问题四、条件极值一、问题的提出实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每瓶进价1元，外地牌子每瓶进价1.2元，店主估计，如果本地牌子的每瓶卖元，外地牌子的每瓶卖元，则每天可卖出瓶本地牌子的果汁，瓶外地牌子的果汁问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大收益？一、问题的提出实例：小王有200元钱，他决定用来购买两种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购买张磁盘，盒录音磁带达到最佳效果，效果函数为．设每张磁盘8元，每盒磁带10元，问他如何分配这200元以达到最佳效果．B题节水洗衣机我国淡水资源有限，节约用水人人有责。

2、洗衣机在家庭用水中占有相当大的份额，目前洗衣机已非常普及，节约洗衣机用水十分重要。假设在放入衣物和洗涤剂后洗衣机的运行过程为：加水－漂洗－脱水－加水－漂洗－脱水－….－加水－漂洗－脱水(称加水－漂洗－脱水为运行一轮)。请为洗衣机设计一种程序(包括运行多少轮，每轮加水量等)，使得在满足一定洗涤效果的条件下，总用水量最少。选用合理的数据进行计算，对照目前常用的洗衣机的运行情况，对你的模型和结果作出评价。二元函数极值的定义二、极值存在的必要条件与充分条件例1例２例３(1)(2)多元函数取得极值的条件证仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点.驻点极值点(函数可导前提下)问

3、题：如何判定一个驻点是否为极值点？注意：解最值可疑点驻点边界上的最值点在实际问题中，如果根据具体情况可以断定函数的最大值或最小值在D的内点达到，且在D内函数只有唯一的驻点，则该驻点处的函数值就是函数的最大值或最小值三、最大值与最小值问题解由解解无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件.条件极值：对自变量有附加条件的极值．四、条件极值引入辅助函数为某一常数.解出其中就是可能的极值点的坐标.引入辅助函数为某一常数.可由函数F称为拉格朗日(Lagrange)函数.此求条件极值的方法称为Lagrange乘数法.推广多个自变量和多个约束条件的情形.例如,求函数下的极值.在条件解调整

4、目标函数为目标函数为约束条件为解则解多元函数的极值拉格朗日乘数法（取得极值的必要条件、充分条件）多元函数的最值小结习题8－8思考题思考题解答解调整目标函数为引入拉格朗日函数可得即