高等数学1-9-连续函数的运算与初等函数的连续性

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1、复习1.无穷小的比较是的高阶无穷小是的低阶无穷小是的同阶无穷小是的等价无穷小是的k阶无穷小设,对同一自变量的变化过程为无穷小,且常用等价无穷小:当时,求极限的又一种方法,注意适用条件.2.等价无穷小替换定理连续函数的等价定义定义则称函数f(x)在点x0连续.定义当时，有则称函数f(x)在点x0连续.定义则称函数f(x)在点x0连续.3.间断点的分类与判别;2.区间上的连续函数;第一类间断点第二类间断点:间断点可去间断点跳跃间断点无穷间断点,振荡间断点.1.函数在一点连续必须满足的三个条件;(见下图)至少一

2、个不存在§9.连续函数的运算与初等函数的连续性学习重点和难点：利用初等函数的连续性求极限几个等价无穷小及其应用一、四则运算的连续性证在点处也连续定理1若函数在点处连续，则故在点处也连续，其它同理可证。即三角函数在其定义域内连续.例如,上连续，在其定义域内连续.定理2单调连续的函数有单调连续的反函数.例如,所以，反三角函数在其定义域内连续.二、反函数和复合函数的连续性上单调增加且连续，上也是单调增加且连续.上单调减少且连续；单调且连续.定理3意义极限符号可以与函数符号互换.例如,回顾：复合函数的极限运算法则设又时，若则意义：求极限

3、的“变量代换”法.定理4注意定理4是定理3的特殊情况.例如,定理3三、初等函数的连续性2.反三角函数在其定义域内是连续的.定理5基本初等函数在其定义域内连续.1.三角函数在其定义域内是连续的.(均在其定义域内连续)定理6一切初等函数在其定义区间内都是连续的.定义区间是指包含在定义域内的区间.1.初等函数仅在其定义区间内连续,在其定义域内不一定连续;例如,在0点的邻域内没有定义.注:注:2.初等函数求极限的方法代入法.例1例2解解例3证明证特别地例4证明证特别地例5证明证特别地综上,得以下常用等价无穷小:已知当时，与是等价无穷小，

4、则常数设时，与是同阶无穷小，则设时，是比高阶的无穷小，则例如：内容小结基本初等函数在定义区间内连续连续函数的四则运算结果仍连续连续函数的反函数连续连续函数的复合函数连续初等函数在定义区间内连续说明:分段函数在界点处是否连续需讨论其左、右连续性.思考题是它的可去间断点思考题解答练习题练习题答案作业P69:1、3、4、6