高等数学(微积分)课件-62微积分基本定理

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1、§6.2微积分基本定理通过定义来求定积分通常是较困难的，我们将设法寻找其它计算途径。我们已经知道，原函数与定积分是从两个角度引进来的概念。但是，经过牛顿、莱布尼兹等数学家的努力，发现了它们之间的联系，从而定积分的计算将通过不定积分来完成。1积分上限的函数设函数f(x)区间[a,b]上连续,并且设x为[a,b]上的任意一点.现在我们考察f(x)在部分区间[a,x]上的定积分如果上限x在区间[a,b]上任意变动,则对于每一个取定的x值,定积分有一个对应值,所以它在[a,b]上定义了一个函数，记称其为f(x)的积分上限函数(变上限函数)。2积分上限函数的性质原函数存

2、在定理：若函数f(x)区间[a,b]上连续,则其积分上限函数在[a,b]上可导,且导数为证3原函数存在性定理的注解1：闭区间上的连续函数f(x)先求变上限积分，再求导数，其结果还原为f(x)本身。2：积分上、下限中有一个为常数，另一个为变量，积分下限为常数，积分上限为变量；变上限是单独的x，而不是x的其它函数形式如何计算：只要将等式右边用积分上限x代替被积函数中的积分变量t即可。4例题与讲解例：求下列函数的导数5例题（涉及复合函数求导）6有用的结论结论：7例题例：8例题与讲解求极限9例题与讲解例：求分析：这是型不定式，应用洛必达法则.解：10练习11例题与讲解

3、例：证：12例题与讲解例：证：令13微积分学基本定理定理：(牛顿—莱布尼茨公式)如果F(x)是连续函数f(x)在区间[a,b]上的一个原函数,则(C为一常数)证:是的一个原函数————牛顿—莱布尼茨公式14微积分基本公式的意义⑴一个连续函数在区间[a,b]上的定积分等于它的任意一个原函数在区间[a,b]上的增量。⑵求定积分问题转化为求原函数的问题。注意例：求原式解15例题与讲解例：设,求.解：例：求解：16例题与讲解例：求解：由图形可知17小结3.微积分基本公式1.积分上限函数2.积分上限函数的导数4.原函数存在定理告诉我们,连续函数的原函数是存在的,其积分上

4、限函数就是其中一个。5.牛顿－莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系。18练习[解答][解答][解答][解答]19练习（续）[解答][解答][解答]20练习解答[返回习题]21练习解答（续1）22练习解答（续2）23练习解答（续3）24练习解答（续4）25练习解答（续5）26练习解答（续6）27