高数A2习题课11曲面积分

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1、曲面 积 分习题课(11)课件制作：肖萍赵庆华李丹衡二、作业选讲三、典型例题四、课堂练习一、内容总结z=z(x,y)oxyz一、内容总结1、曲面的侧与有向曲面曲面有双侧和单侧之分,通常总假设所讨论的曲面是光滑的双侧曲面.下侧y=y(x,z)oxyz右侧左侧上侧x=x(y,z)oxyz后侧前侧oxyz外侧内侧相对与坐标轴的正方向而言,由方程z=z(x,y)表示的曲面有上侧与下侧之分;由方程y=y(x,z)表示的曲面有右侧与左侧之分;由方程x=x(y,z)表示的曲面有前侧与后侧之分;一张闭曲面有外侧与内

2、侧之分.z=z(x,y)oxyz一、内容总结1、曲面的侧与有向曲面曲面有双侧和单侧之分,通常总假设所讨论的曲面是光滑的双侧曲面.下侧y=y(x,z)oxyz右侧左侧上侧x=x(y,z)oxyz后侧前侧oxyz外侧内侧曲面的侧用曲面上法向量n的指向来规定,如果规定一侧为正向,则另一侧为负向.指定了侧的曲面叫有向曲面,通常用(-)表示与曲面的正向相反的同一曲面.一、内容总结2、对面积的曲面积分在光滑曲面上有界的函数f(x,y,z)在曲面上对面积的曲面积分或第一类曲面积分定义为对面积的曲面积分与曲

3、面方向无关.如果曲面的方程为z=z(x,y),在xOy面上的投影区域为Dxy,则对面积的曲面积分可化为二重积分:一代:将f(x,y,z)中的z代以曲面的方程z=z(x,y);二换:将曲面面积元素dS代换为三投影:将投影到xOy面上,得投影区域Dxy,一、内容总结2、对面积的曲面积分注意:上述一代二换三投影化曲面积分为二重积分的步骤,曲面必须是单值函数,若不满足单值条件,可将其分成几块,使得在每一块上为单值函数,然后用可加性化作在每一块上的曲面积分来进行计算.如果曲面方程为x=x(y,z

4、),(y,z)Dyz,则如果曲面方程为y=y(x,z),(x,z)Dxz,则一、内容总结2、对坐标的曲面积分在有向光滑曲面上定义的一个向量场A=((P(x,y,z),(Q(x,y,z),(R(x,y,z))在此有向曲面上对坐标的曲面积分或第二类曲面积分定义为称为Q在有向曲面上对z,x的曲面积分;称为R在有向曲面上对x,y的曲面积分.称为P在有向曲面上对y,z的曲面积分;一、内容总结3、对坐标的曲面积分如果为z=z(x,y),(x,y)Dxy,取上侧,R(x,y,z)C(),则

5、如果取下侧,则如果为x=x(y,z),(y,z)Dyz,P(x,y,z)C(),则(前正后负)如果为y=y(x,z),(x,z)Dxz,Q(x,y,z)C(),则(右正左负)一代二投三定号一、内容总结4、两类曲面积分的联系曲面的方向用法向量的方向余弦刻画令向量形式(A在n上的投影)二、作业选讲练习4.7三计算其中为锥面被柱面x2+y2=2ax所截的部分.解:oxyz曲面关于xOz面对称,其第一卦限部分如图.因为:曲面在xOy的投影区域为二、作业选讲练习4.7三计算其中为锥

6、面被柱面x2+y2=2ax所截的部分.oxyz二、作业选讲练习4.8四计算其中为球面的上半部分上侧.oxyz解:类似地,有所以,三、典型例题例１计算曲面积分其中为上半球面而解:在的部分记作1,其余部分记作2,1在xoy面上投影为于是,12三、典型例题例2计算曲面积分其中为圆锥面的一部分为常数,且解:的直角坐标方程为：在xoy面上投影为于是,xyzo三、典型例题例3计算曲面积分其中为介于平面z=0及z=H之间的圆柱面x2+y2=R2.解:在yoz面上投影为又在Dyz上的显式

7、方程为故积分要分前后两个部分的曲面积分.三、典型例题例4计算其中为旋转抛物面z=x2+y2上解1:的部分取下侧.类似地,所以,三、典型例题例4计算其中为旋转抛物面z=x2+y2上解２:由对称性，的部分取下侧.于是所以,三、典型例题例5计算曲面积分其中为解:的外表面.由对称性可得注:由于x=0,y=0,z=0是间断面,本题不能用Gauss公式.三、典型例题例6计算其中为平面x-y+z=1在第IV卦限部分的上侧.解:为一平面,因而容易将第二类曲面积分转化为第一类曲面积分,平面的法向量其方向余

8、弦为于是三、典型例题例7计算曲面积分抛物面取下侧.其中为旋转解:利用两类曲面积分的联系,有四、课堂练习练习1:计算曲面积分其中是x=0,y=0及x2+y2+z2=a2所围成的闭曲面.答案：练习2:计算曲面积分其中是圆柱面x2+y2=2被平面x+z=2和z=0所截出部分的外侧.答案：