高数a(2)习题课(12)线曲面积分关系与积分学应用

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1、线面积分的关系与积分学的应用习题课(12)课件制作：肖萍李丹衡赵庆华二、作业选讲三、典型例题四、课堂练习一、内容总结一、内容总结1、对坐标的曲面积分与三重积分的关系高斯(Gauss)公式:设空间闭区域由分片光滑的闭曲面所围成,函数P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在上有连续的一阶偏导数,则有此处曲面积分取的外侧.通量与散度:(P,Q,RC1(G))向量场的通量为通过有向曲面(其中为其单位法向量)G内任意点处的散度为向量形式的Gauss为一、内容总结2、对坐标的曲面积分与对坐标的

2、空间曲线积分间的关系斯托克斯(Stokes)公式:设光滑曲面的边界是分段光滑曲线,的侧与的正向符合右手法则,函数P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在包含在内的一个空间域内具有连续一阶偏导数,则有为便于记忆,斯托克斯公式还可写作:一、内容总结或用第一类曲面积分表示:环流量与旋度设是R3上的向量场,是该场中一条光滑的有向曲线,则称为向量场A沿有向闭曲线的环流量.向量称为向量场A的旋度,记作rotA.若的法向量为的单位切向量为则向量形式的Stokes为一、内容总结3、空间曲线积

3、分与路径无关的条件设G是空间一维单连通域,P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)C1(G),则下列四个条件相互等价:(1)对G内任一分段光滑闭曲线,有(2)对G内任一分段光滑曲线,与路径无关(3)在G内存在某一函数u,使(4)在G内处处有一、内容总结4、多元函数积分学在几何学中的应用__几何形体的度量所谓几何形体的度量具体指平面区域的面积，空间区域的体积，平面（空间）曲线的长度及空间曲面的面积，可用积分的统一定义表示为：.具体地，(1)平面区域D的面积(2)空间区域的体积(3)平面(空

4、间)曲线的长度(4)空间曲面的面积一、内容总结5、多元函数积分学在物理学的应用之一物质形体的质量(1)面密度为ρ(x,y)的物质平面区域Ｄ的质量(2)体密度为ρ(x,y,z)的空间物质立体的质量(3)线密度为ρ(x,y)(ρ(x,y,z))平面(空间)的物质曲线的质量(4)面密度为ρ(x,y,z)的物质曲面的质量若４中的几何形体是物质的非均匀分布的形体，质量的统一计算公式为：,其中　表示物质几何形体的密度.具体地，一、内容总结5、多元函数积分学在物理学的应用之二物质形体的质心(1)设是物质平面

5、薄片或平面曲线,不妨将其面或线密度都记为ρ(x,y),若质心坐标为(x*,y*),则(2)设是物质立体,空间曲线或空间曲面,不妨将其体,线或面密度都记为ρ(x,y,z),若质心坐标为(x*,y*,z*),则一、内容总结6、多元函数积分学在物理学的应用之三物质形体的转动惯量(1)设是物质平面薄片或平面曲线,不妨用ρ(x,y)表示其面或线密度,Ix,Iy表示其关于x轴与y轴的转动惯量,则(2)设是物质的空间立体,空间曲线或空间曲面,其体,线或面密度都记为ρ(x,y,z),若Ix,Iy与Iz表示其关于x轴,

6、y轴与z轴的转动惯量,则一、内容总结7、多元函数积分学在物理学的应用之四物质形体的引力对于物质形体,设其密度为ρ(P),该物质形体对于位于z轴上点M0(0,0,a)(a>0)处的单位质量的质点的引力为F={Fx,Fy,Fz},则其中k为引力系数,P表示平面区域(空间区域,曲线及曲面)上的点,表示以上区域,d表示以上区域的元素,而积分分别表示二重,三重,曲线及曲面积分.二、作业选讲练习4.9(1)三计算其中为球面x2+y2+z2=R2的外侧.解:曲面积分的积分区域的方程可代入被积函数,因而二、作业选

7、讲练习4.9(1)五计算其中为解:记球面(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=R2的外侧.由高斯公式得注意到积分的物理意义(静力矩)，而球的形心为球心,所以二、作业选讲练习4.9(2)二计算其中为平面:解:截立体:由Stokes公式得的方向余弦为的表面所得的截痕,若从x轴的正向看去,取逆时针方向.二、作业选讲练习4.9(2)四求向量的旋度,并计算此向量(从z轴正向看去为逆时针方向)沿闭曲线的环流量.解:取:2x+2y-1=z(上侧)其单位法向量为二、作业选讲练习4.9(2)五设具有二阶连续编导

8、数,求解:rot(gradu).二、作业选讲练习5.3三在均匀半圆形薄片的直径上,要接上一个一边与直径等长的矩形薄片,为了使整个均匀薄片的重心恰好在圆心上,问接上去的均匀矩形薄片的一边长度为多少？解:设接上去的边长为L(半圆形薄片半径为R—已知常数)由题意,知整个薄片关于y轴对称,故又由题意知，二、作业选讲练习5.3七已知单位立方体在点(x,y,z)处的密度与该点到原点的距离的平方成正比,求此立方体的重心坐标.解