第二章第2讲函数的定义域与值域

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1、第2讲　函数的定义域与值域1．常见基本初等函数的定义域(1)分式函数中分母不等于零．(2)偶次根式函数被开方式大于或等于0.(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.(4)y＝ax，y＝sinx，y＝cosx，定义域均为R.(5)y＝tanx的定义域为.(6)函数f(x)＝x0的定义域为{x

2、x≠0}．(7)实际问题中的函数定义域，除了使函数的解析式有意义外，还要考虑实际问题对函数自变量的制约．[做一做]1．函数f(x)＝的定义域为________．解析：要使函数f(x)＝有意义，只需即所以函数f(x)的定义域为(－∞，1)∪(1,4]．答案：(－∞，1)∪(1,4]2．已

3、知等腰△ABC的周长为10，底边长y关于腰长x的函数关系为y＝10－2x，则函数的定义域为________．解析：由题意知即0时，值域为；当a<0时，值域为.(3)y＝(k≠0)的值域是{y

4、y≠0}．(4)y＝ax(a>0且a≠1)的值域是{y

5、y>0}．(5)y＝logax(a>0且a≠1)的值域是R.(6)y＝sinx，y＝cosx的值域是[－1,1]．(7)y＝tanx的值域是R.[做一做]3．求下列函数的值域．(1)y＝；(2)y＝l

6、og3x＋logx3－1.解：(1)y＝＝1－，因为x2－x＋1＝(x－)2＋≥，所以0<≤，所以－≤y<1，即值域为.(2)y＝log3x＋－1，令log3x＝t，则y＝t＋－1(t≠0)，当x>1时，t>0，y≥2－1＝1，当且仅当t＝即log3x＝1，x＝3时，等号成立；当0

7、：因为要使函数f(x)＝－有意义，则所以所以函数f(x)的定义域为{x

8、x≤1，且x≠－1}．2．求函数y＝－2的值域．解：因为≥0，且≤1，所以－2≤－2≤－1.所以所求函数的值域是[－2，－1]，本题易产生以下错解：把原式化为y＋2＝，两边平方得，x2＋(y＋2)2－1＝0，可解得－3≤y≤－1.故原函数的值域是[－3，－1]．2．必会的6种求函数值域的方法求函数值域常用方法(1)观察法：一些简单函数，通过观察法求值域．(2)配方法：“二次函数类”用配方法求值域．(3)换元法：形如y＝ax＋b±(a，b，c，d均为常数，且a≠0)的函数常用换元法求值域，形如y＝ax＋

9、的函数用三角函数代换求值域．(4)分离常数法：形如y＝(a≠0)的函数可用此法求值域．(5)单调性法：函数单调性的变化是求最值和值域的依据，根据函数的单调区间判断其增减性进而求最值和值域．(6)数形结合法：画出函数的图象，找出坐标的范围或分析条件的几何意义，在图上找其变化范围．[练一练]3．若函数f(x)的值域是，则函数F(x)＝f(x)＋的值域是______．解析：令t＝f(x)，则≤t≤3.易知函数g(t)＝t＋在区间上是减函数，在(1,3]上是增函数．又因为g()＝，g(1)＝2，g(3)＝.可知函数F(x)＝f(x)＋的值域为.答案：4．已知函数f(＋2)＝x＋2

10、，则函数f(x)的值域为________．解析：令2＋＝t，则x＝(t－2)2(t≥2)．所以f(t)＝(t－2)2＋2(t－2)＝t2－2t(t≥2)．所以f(x)＝x2－2x(x≥2)．所以f(x)＝(x－1)2－1≥(2－1)2－1＝0，即f(x)的值域为[0，＋∞)．答案：[0，＋∞)考点一　求函数的定义域　　(1)函数f(x)＝的定义域为________．　(2)已知函数f(x)的定义域为[1,2]，则函数g(x)＝的定义域为________．[解析]　(1)要使f(x)有意义，则解之得所以－1

11、＝有意义，则必须有所以≤x<1，故函数g(x)的定义域为[，1)．[答案]　(1)(－1,0)　(2)[，1)[方法归纳]　(1)求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集．(2)已知f(x)的定义域是[a，b]，求f[g(x)]的定义域，是指满足a≤g(x)≤b的x的取值范围，而已知f[g(x)]的定义域是[a，b]，指的是x∈[a，b]．　1.函数y＝的定义域为________．　解析：由得－1