江苏王华明构造圆巧解题

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1、构造圆巧解题江苏省兴化市戴泽初级中学王华明225721邮箱：xhdzwhm@163.com手机：13812474234我们在做几何类题目感到无从下手时，往往会想到作辅助线。作什么样的辅助线，应该根据具体的条件。比如直角三角形中，出现了斜边的中点，我们会想到作斜边的中线；三角形中出现了两边的中点，我们会想到作中位线；出现30°、45°、60°的角，我们会想到作垂直构造直角三角形；出现圆的切线，我们会想到把圆心和切点连接起来，得到垂直……那什么条件下，应该作圆呢？来看看下面几种情况。一、遇到旋转构造圆例1、如图正方形ABCD的边长

2、为4㎝，正方形AEFG的边长为1㎝。ABCDEFGNM如果正方形AEFG绕点A旋转一周，设C、F两点之间的距离是d㎝，求d的取值范围。解：∵正方形AEFG绕点A旋转一周∴点F的运动路径是以A为圆心，AF长为半径的圆连接C、A并延长，交⊙A于点M、N易知CN是d的最大值CM是d的最小值由勾股定理得AF=CA=4CN=AN+CA=+4=5CM=CA-AM=4-=3∴3≤d≤5例2、在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为θ（0°＜θ<180°），得到△A′B′C。设AC中点为E，A′

3、B′中点为P，AC=a，连接EP，当θ为多少度时，EP长度最大，最大值是多少。CPPB′BMEAA′θ解：∵△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为θ（0°＜θ<180°）∴点P的运动路径是以C为圆心，CP长为半径的半圆延长EC交⊙C于点M，显然EM的长是EP的最大值∵∠ACB=90°，∠ABC=30°∴∠BAC=60°AB=2AC=2a当AB与A′B′重合时∵∠ACB=90°A′B′中点为P∴CP=AP=AB=a又∵∠BAC=60°∴△ACP是等边三角形∴∠ACP=60°∴θ=∠PCM=120°EM=EC+CM=a+a=a二、到

4、定点距离相等构造圆OAPPPPxyBC例3、在平面直角坐标系中，点A的坐标是（2,2），若点P在x轴上，且△APO是等腰三角形，求点P的坐标。解：若OP=AP，则点P是OA的中垂线与x轴的交点过点A作x轴的垂线垂足为B,∵点A的坐标是（2,2）∴OB=AB∴点B在OA的中垂线上∴点B与点P重合∴点P的坐标为（2,0）若AO=AP，则点P是以A为圆心，AO长为半径的圆与x轴的交点由垂径定理得OP=2OB=4∴点P的坐标为（4,0）若OA=OP，则点P是以O为圆心，OA长为半径的圆与x轴的交点OP=OA=2∴点P的坐标为（2，0）

5、或（-2，0）综上所述：点P的坐标为（2,0）（4,0）（2，0）（-2，0）例4、已知：△ABC中，∠C=60°，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，F是AB的中点，若AB=4，求S△DEF。解：∵AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，F是AB的中点CDEBAFH∴DF=AB=BF=AF=2EF=AB∴DF=EF=BF=AF∴点D、E、A、B在以F为圆心，AB长为半径的圆上∵∠C=60°BE⊥AC∴∠EBC=30°∵点D、E、A、B在以F为圆心，AB长为半径的圆上∴∠DFE=2∠EBC=60°∵DF=EF∴△DEF是等边三角形作FH⊥

6、DE于H可求FH=∴S△DEF=FH•DE=××2=三、确定直角顶点构造圆ABCxCOyD例5、如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（-1,0），点B坐标（3,0），在y轴上取一点C使∠ACB=90°，求点C的坐标。解：∵点A坐标为（-1,0），点B坐标（3,0）∴AB=4∵直径所对的圆周角是直角∴以AB中点D为圆心，2为半径作圆与y轴交点就是所求点C由勾股定理可得OC=∴C坐标为（0，）或（0，-）综上所述，解题时作辅助线并不难，关键是要做有心人，根据不同的条件作出相应的辅助线，难题往往会迎刃而解。ABCxCOy