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1、第卷第期毕节师范高等专科学校学报!∀#∃%&∋∀()∗!+,+&−.+∃/−∀∋∋+0+1234年5月构造几何图形巧解题口张云艳1毕节师专数学系,贵州毕节66783摘要9本文从平面到空间举例说明构造几何图形在解题中的妙用关健词9构造,几何图形,解题。构造几何图形解题是解决数学问题的一般思想方法之一。它是根据问题的内在联系或数式的结构特征,恰当地赋予其几何意义,构造出一个与原问题有关或等价的“几何背景”,借助几何图形的有关公式、性质、位置关系,在数与形之间架设桥梁,达到解决问题的目的。一些学生对用代数方法解决图形问题比较注重,但对利用图形研究数量关系却较为生疏。本文通过从平面
2、到空间构造几何图形来说明构造法在解题中的妙用。一、解析化方法、巧用距离公式构造距离公式通常有构造两点间距离,构造点到直线的距离,构造点到平面的距离等。例:求函数;1二,,3<丫二,=>,=了14一二3,=,,=了1?一二3,=14一≅万至=丫二,=14一,3,在〔Α,?Β的最小值。1数学通讯,Χ13,问题征解3顾简证9此题若用一般代数方法较难解决但注意到题设的结。构特征,联想到两点间距离公式,构造坐标系如图49口&)Ε是一个边长为的正方形,其中尸1Φ,力是正方形内任一点。用Γ了13ΗΙ丫13<4一二,=>,,尸Ε<二,=4一>,,Ι尸召卜4一二,=14一,,,尸。Ι<9,=
3、,,图43丫133Η了由三角形任两边之和大于第三边知在△ϑ&Ε中有Ι&ϑΙ=ΙΚ引李Ι&ΕΗ<在,在△ΚΑ)中有Ι朋Ι=Η尸838刀卜涯⋯Γ用≅=∗尸Ε4=∗朋Ι=Ι尸。,3夜1当尸为对角线交点时“<”成立3即;1二,>3Λ二拒,1此时二<>二例:已知Φ十>=万二,求证Φ=了=?〕了4简证9由题设及结论可联想到二,=尹十9是平面Φ=>=9二上任一个点尸1Φ,>,93与原点。81,Α,38的Χ距离的平方。如图9设尸1Φ,>,93为平面Φ=>=9二上任一个点,+是原点口在平面&)−上的射影。由点到平面的距离得,口9,二粤,当尸,+术重合时,口尸是Μ∃△Αϑ+的斜边。Ι口尸Ι李Ι
4、Α+Γ即得ΙΑ尸’3Γ口+Ι’<合即·’=,’=·’3合:构造二次曲线巧解代数问题利用二次曲线的性质,常可将代数等式1不等式3构造图形加以解决。例:若Φ,>满足1二一3=><,求上的最大值。18年全国数学高考题3简析91Φ一3,=尹二是一个以点&1,83为圆心,半径长为图3万的圆Κ1>3是圆上一点上显然是点口到点尸的直线的斜率由,Φ,。。直线与圆的位置关系1如图3知当尸为88的切点时,上最大。:’无’尸1Ν3ΦΟ<ΜΠ晋<办例Θ:已知Ο,Ρ任∃,且Ο尹Ρ。求证9Η石万子一了丁了ΙΣΙ。一。Ι∗简证9注意到结论可化为三二三三亚二二、而不等式左端为两点&1。护屯万与Τ⋯Ο一ΡΗ
5、,,石一ΙΙ)1Ρ,Υ气耳落万之间连线的斜率,且&,)是曲线><丫了不下万上的两点,位于曲线尹一扩二的上支。尹一有几丫了一了了‘健,。下了了一显然直线&)的斜率是气二Ο一ς,四宾天扩<,的渐近线方程是><土2∀“8或8‘⋯‘Π粤1违·Σ,、二ΣΠΜ万即有Ι气,ΙΣ,命题得证。:二构造平面几何模型、—构造平面几何图形是一种常用的方法手段。当代数问题具何图形的结构特征时,通常构造三角形、四边形、多边形等特殊几何图形,达到解题的目的。例6:已知Φ,少任∃,且Φ,>任Ω8,4Β生=二一、李3十>4十2”年列宁格勒数学奥林匹克试题6题3由结论与题设的数量特征,构造一个边长为的正方形
6、图63Χ&刀−ς,君,尸,0分别是注刀,)−,−刀上的点,令刀(二<Φ,−0<=>=>4=Φ晨秋:ΞΨΤ一兰一勺Ψ立二Τ而/,。印<4,且/,‘ς
7、=]。在ς+上取点&,使&ς二],&+<。,在+(上取点),使)+二Ρ,)(“Ο“则/二,)。二/矩。‘_一1/△。。唯=Ζ△滩“=/△。_Ε即9/△,)。<313一〔13‘Ο=。·=、合Ο=。、=“·=Ο·=]3」图53:’“。拢二合1Ο⊥=Ρ。=Ρ]3例7:证明9≅αΖΑ=Ζ≅α77Α=9≅α4Θ少=9≅αΑ=Ζ≅αΑ<8分析9式中发现角次相差78,差数列。边长为的正五边形&)Ες+,过&簇,使依成等作点作轴1丽八蕊3<Α6。根据正五边形的,,丽,丽与二轴的夹角分别为787,Θ少,丽内角关系可得丽丽。,8。而=
