培优解直角三角形

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1、1如图，港口B在港口A的西北方向，上午8时，一艘轮船从港口A出发，以15海里／时的速度向正北方向航行，同时一艘快艇从港口B出发也向正北方向航行．上午10时轮船到达D处，同时快艇到达C处，测得C处在D处的北偏西30°的方向上，且C、D两地相距100海里，求快艇每小时航行多少海里？（结果精确到0.1海里／时，参考数据≈1.41，≈1.73）ABCD北东30°45°23题图【答案】过点C作AD的垂线，交AD的延长线于点F，过点A作CB的垂线，交CB的延长线于点E．（如图）在Rt△CDF中，∠CDF＝30°∴CF＝CD＝50海里DF

2、＝CD·cos∠CDF＝50海里∵CF⊥AF，EA⊥AF，BE⊥AE∴∠CEA＝∠EAF＝∠AFC＝90°∴四边形AECF是矩形∴AE＝CF＝50海里在Rt△AEB中，∠AEB＝90°，∠EAB＝990°－45°＝45°∴BE＝AE＝50海里在矩形AECF中，CE＝AF，即CB＋BE＝AD＋DF∴CB＝AD＋DF－BE＝15×2＋50－50＝（50）海里（50）÷2＝25－10≈25×1.73－10≈33.3（海里／时）22011年3月11日13时46分日本发生了9.0级大地震，伴随着就是海啸.山坡上有一颗与水平面垂直的大树

3、，海啸过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面（如图所示）.已知山坡的坡角∠AEF=23°，测得树干的倾斜角为∠BAC=38°，大树被折断部分和坡面的角∠ADC=60°，AD=4米.（1）求∠DAC的度数；（2）求这棵大树折断前高是多少米？（注：结果精确到个位）（参考数据：）【答案】解：（1）∠DAC=180°-∠BAC-∠GAE=180°-38°-（90°-23°）=75°；（2）过点A作CD的垂线，设垂足为H，则Rt△ADH中，DH=2，AH=.Rt△ACH中，∠C=45°，故CH=AH=，AC=.故树

4、高++2≈10米.3如图，防洪大堤的横断面是梯形，背水坡AB的坡比（指坡面的铅直高度与水平宽度的比）．且AB=20m．身高为1.7m的小明站在大堤A点，测得高压电线杆端点D的仰角为30°．已知地面CB宽30m，求高压电线杆CD的高度（结果保留三个有效数字，1.732）.CDNMAB 第21题图【答案】如图：延长MA交CB于点E.CD=DN+CN=DN+ME.CDNMAB 第21题图E在中，背水坡AB的坡比可知，得。又AB=20m，所以AE=×20=10m,BE=20×=m所以NC=ME=MA=AE=1.7+10=11.7m中

5、，∠AMN=30°，MN=CE=CB+BE=(30+)mDN=CD=DN+CN=DN+ME=11.7+=≈36.0m3如图所示，为求出河对岸两棵树A、B间的距离，小坤在河岸上选取一点C，然后沿垂直于AC的直线前进了12米到达点D，测得∠CDB＝90°，取CD的中点E，测得∠AEC＝56°，∠BED＝67°，求河对岸两树间的距离（提示：过点A作AF⊥BD于点F）．（参考数据：sin56°≈，tan56°≈，sin67°≈，tan67°≈．）【答案】在Rt△ACE中tan∠AEC＝∴AC＝CE·tan56°≈6×＝9在Rt△BD

6、E中tan∠BED＝∴BD＝DE·tan67°≈6×＝14∴BF＝14－9＝5∴AB＝＝＝134莱芜某大型超市为了缓解停车难的问题，建筑设计师提供了楼顶停车场的设计示意图．按规定，停车场坡道口上坡要张贴限高标志，以便告知车辆能否安全驶入．请根据下图求出汽车通过坡道口的限高DF的长．（结果精确到0.1m）（参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88,tan28°≈0.53）【答案】解：在Rt△ABC中，∠A＝28°，AC＝9∴∴在Rt△BDF中，∠BDF=∠A=28°，BD=4.275如图是一座人行天桥的引桥部分

7、的示意图，上桥通道是由两段互相平行并且与地面成37°角的楼梯AD、BE和一段水平平台DE构成.已知天桥高度BC=4.8米，引桥水平跨度AC=8米.（1）求水平平台DE的长度；（2）若与地面垂直的平台立柱MN的高度为3米，求两段楼梯AD与BE的长度之比.（参考数据：取sin37°=0.60，cos37°=0.80，tan37°=0.75）ADEBCMN37°解：（1）延长线段BE，与AC相交于点F，如图所示.∵AD∥BF，DE∥AC，∴四边形AFED是平行四边形.∴DE=AF，∠BFC=∠A=37°.在Rt△BCF中，tan∠

8、BFC=，∴CF===6.4（米）.∴DE=AF=AC-CF=8-6.4=1.6（米）.答：水平平台DE的长度为1.6米.ADEBCMN37°FG（2）延长线段DE，交BC于点G.∵DG∥AC，∴∠BGM=∠C=90°.∴四边形MNCG是矩形，∴CG=MN=3（米）.∵BC=4.8米，所以