第三章 线性系统的时域分析

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1、第3章线性系统的时域分析前已指出，分析控制系统的第一步是建立系统的数学模型，然后即可采用各种方法对系统进行分析或设计。在控制系统的分析设计中，人们关心的是系统变量及输出对时间的响应。这样，对系统施加一给定输入信号，通过研究系统的时间响应来评价系统的性能，这就是控制系统的时域分析。3.1自动控制系统时域响应的基本概念你可能已想到了，对控制系统进行时间响应分析，应该有一个分析比较的基础和性能评价的衡量。为此，我们来看一看都有哪些典型的测试信号，以及需要从哪些方面考察系统的性能。1典型输入信号为了便于对系统进行分析、设计和比较，根据系统常遇到的输入信号形式，在数学描述

2、上加以理想化的一些基本输入函数，称为典型输入信号。控制系统中常用的典型输入信号有：单位阶跃、单位斜坡（速度）函数、单位加速度（抛物线）函数、单位脉冲函数和正弦函数。2瞬态响应指系统在典型输入信号作用下，系统输出量从初始状态到最终状态的响应过程。又称动态过程或过渡过程。瞬态响应可以提供关于系统稳定性、响应速度及阻尼情况等信息。3稳态响应指系统在典型输入信号作用下，当时间t趋于无穷时，系统输出量的表现方式。稳态响应又称稳态过程。稳态响应可以提供系统有关稳态误差的信息。4稳定性若控制系统在初始条件或扰动影响下，其瞬态响应随着时间的推移而逐渐衰减并趋于零，则称系统稳定；

3、反之，不稳定。控制系统能在实际中应用，其首要条件是保证系统具有稳定性。不稳定的控制系统，当受到外界或其内部一些因素的扰动，如负载或电源的波动，系统的变化等，就会使系统的输出量越来越偏离其平衡状态，即使在扰动因素消失后，也不可能再恢复到原平衡状态。控制系统的稳定性取决于系统本身的结构和参数，与外加信号无关。5误差和稳态误差控制系统在输入信号的作用下，其输出量中包含瞬态分量和稳态分量两个分量。对于稳定的系统，瞬态分量随时间的推移而逐渐消失，稳态分量则从输入信号加入的瞬时起就始终存在，其表现方式就是稳态响应。稳态响应反映了控制系统跟踪输入信号或抑制扰动信号的能力和精度

4、。这种能力或精度称为系统的稳态性能。一个系统的稳态性能是以系统响应某些典型输入信号时的稳态误差来评价的。至此，你已经认识到，我们将会从哪些方面来对控制系统进行分析了吧？3.2自动控制系统的稳定性和代数稳定判据既然一个可以使用的自动控制系统，其首先要满足的条件是系统必须稳定，那么我们首先要考察的是系统的稳定性，并学习判断系统稳定性的方法。3.1.1自动控制系统稳定性让我们以骑自行车为例来说明这个问题。当某人骑到自行车上后，我们就可以把人和自行车看作一个自动控制系统。要能够正常行进，或者说这个系统要满足的最起码的条件是不能摔倒。大家都有这样的经验，当自行车发生侧倾时

5、，如果骑车人调整过度，或者调整不及时，都可能摔倒。用我们的术语来说就是这个系统是不稳定的。粗浅地说，当输入或初始条件作微小变化时，如果输出不趋于无穷大的变化，则可认为系统是稳定的。对于线性定常系统，通常从下面两个方面来定义稳定性：（1）当系统受到有界输入作用时，输出也是有界的，称为有界输入有界输出稳定；（2）系统没有输入作用，仅在初始条件作用下输出能随时间趋于平衡状态，称为渐近稳定。下面让我们来导出系统稳定的充分必要条件。从前一章的内容，我们知道系统的传递函数为式（2.23）mmm−1∏(s+zi)C(s)b0s+b1′s+Λ+bm′−1s+bm′i=1G(S)

6、==()=Knn−1nR(s)as+a′s+Λ+a′′s+a′01n−1n∏(s+pj)j=1其中−p是传递函数分母多项式的根。我们把传递函数分母多项式称为系统的特征j式，相应地，其根就称为系统的特征根。当输入为单位脉冲函数时，即r(t)=δ(t)，因R(s)=1，故有系统的零初始条件响应C(s)=G(s)m∏(s+zi)−1−1i=1c(t)=L[G(s)]=KL[]n∏(s+pj)j=1利用部分分式法，当n>m时nAn−1j−pjtc(t)=KL[∑]=K[∑Aje]j=1(s+pj)j=1我们已经知道，−p是系统的特征根，因此显然系统稳定的充分必要条件为特

7、征j根具有负实部。因为这时系统输出的各个分量随时间趋于零。系统是稳定的。特殊地，当n=m时nAn−1j−pjtc(t)=KL1[+∑]=K[δ(t)+∑Aje]j=1(s+pj)j=1系统输出随时间也趋于零，系统也是稳定的。因此，系统在有界输入作用下稳定的充分必要条件是系统传递函数分母多项式的根具有负实部。3.1.2劳斯－胡维茨判据如果要用上述稳定条件来判断系统的稳定性，就要求解系统的特征根。但当系统特征方程阶次较高时，求根会非常麻烦。劳斯－胡维茨判据就是可以不用求系统特征根而可以判断系统特征根是否具有负实部的方法。（1）劳斯判据一般地，系统特征方程具有如下形式

8、nn−1as+as+Λ+