行列式求法的探讨 数学与应用数学论文

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1、目录内容摘要……………………………………………………………………………………1关键词………………………………………………………………………………………11引言………………………………………………………………………………………12行列式的定义……………………………………………………………………………13行列式的性质……………………………………………………………………………24求行列式的方法…………………………………………………………………………35小结……………………………………………………………………………………13参考文献…………………………

2、………………………………………………………15英文摘要…………………………………………………………………………………16行列式的求法探讨数学与应用数学200710700046指导老师:【内容摘要】在了解行列式的定义、性质后，本文主要探讨了行列式的计算方法，介绍了阶行列式的几种行之有效的方法.有常用的定义法、化归、加边法等方法外，还介绍了递推法、数学归纳法等技巧性较高的计算方法，并给出针对性例子.【关键词】行列式；递推法；数学归纳法1引言行列式这一名称是著名的法国数学家柯西于1812年提出来的，行列式的计算是高等代数的重要内容之一，阶行列式的计算

3、是学习中的一个难点，对于阶数较低的行列式，一般直接用定义法计算出结果，当较大的时候，直接用定义计算有些困难，所以探讨行列式的计算方法很有必要.通常灵活地运用一些计算技巧和方法，可以简化计算过程.本文介绍了几种行列式的计算方法，如果能够将各种方法掌握并灵活运用，可以很大程度上解决阶行列式的计算问题.2行列式的定义首先,我们给出阶行列式的定义.定义2.1[1]由个元素组成的符号称为阶行列式，简记为.它表示一切可能的取自不同行不同列的个元素乘积的代数和（共项），各项符号是：当项中各元素的行标构成自然排列时，如果列标的排列为偶排列，取正号；如果列标的排

4、列为奇排列，则取负号，即16(2.1)注表示级排列的逆序列.式2.1称为阶行列式按行标自然顺序排列的展开式，称为阶行列式（2.1）的一般项.当时，一阶行列式就是数.3行列式的性质由于计算行列式的时候需要展开行列式，交换行（列），添加一行（列）对行列式进行变换，所以在探讨行列式的计算方法前，我们需要先了解行列式的一些基本性质.定义3.1[1]把行列式D的行列互换后得到的行列式称为的转置行列式，记作.即，.显然，行列式与它的转置行列式互为转置行列式.性质3.1[1]行列式与它的转置行列式相等.性质3.2[1]交换行列式的两行（列），行列式改变符号，

5、即设阶行列式，交换的第行和第行（）得行列式，则.性质3.3[2]若行列式有两行（列）的对应元素相同，则.性质3.4[3]行列式某一行（列）所有元素的公因子可提到行列式外面.即16.性质3.5[4]如果行列式中有两行（列）的对应元素成比例，那么这个行列式的值为零.性质3.6[4]如果行列式中有一行（列）的各元素都是两项之和，则此行列式等于两个行列式之和，即性质3.7[5]把行列式的某一行（列）的所有元素乘以数加到另一行（列）的相应元素上，所得行列式的值不变.4求行列式的方法计算行列式一般可以归类为以下几种方法:定义法、化归法、运用拉普拉斯定理法、

6、利用范德蒙德行列式法、拆行（列）法、降阶法、升阶法、递推法、数学归纳法.下面我们具体介绍一些方法.4.1定义法定义法一般适用于二阶、三阶行列式或者行列式中有较多0的情况，因为行列式的项中有一个因数为零时，该项的值就为零，故只需求出所有非零项即可.16定理4.1.1[1]一个阶行列式中等于零的元素个数如果比多，则此行列式等于零.证明由行列式定义，该行列式展开后都是个元素相乘，而阶行列式共有个元素.若等于零的元素个数大于，那么非零元素个数就小于个,因此该行列式的每一项都至少含一个零元素，所以每项必等于零，故此行列式等于零.4.2化归法利用行列式的性

7、质，化行列式为上三角形行列式或下三角形行列式来计算.行列式称为上三角形行列式，那么.证明由阶行列式的定义，它的展开式应有项，其一般项为，我们只需求出上述所有可能不为零的项.在中第行元素除外均为0，所以；在第行中，除和外的元素都为零，因此或，但由于位于同一列，而，所以；依此类推，在展开式中只有一项可能不等于零，且这项的列标所组成的级排列的逆序数位0，故这项取正号，由行列式的定义得，即上三角形行列式的值等于主对角线上各元素的乘积.类似地，可得下三角行列式16.总之，上（下）三角行列式均等于主对角线上元素的乘积.例4.2.1计算下列行列式4.3拉普拉

8、斯定理定理4.3.1[1]（Laplace定理）在阶行列式中，任意取定行（列），由这16行（列）元素组成的一切阶子式与它对应的代数余子式乘积之和等于行