《论文_蒙志朝的论文行列式求法的探讨(定稿)》

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1、内容摘要1关键词11弓I言12行列式的定义13行列式的性质24求行列式的方法35小结13参考文献15英文摘耍16行列式的求法探讨数学与应用数学200710700046蒙志朝指导老师:谢光明【内容摘要】在了解行列式的定义、性质后，本文主要探讨了行列式的计算方法，介绍了〃阶行列式的几种行之有效的方法•有常用的定义法、化归、加边法等方法外,还介绍了递推法、数学归纳法等技巧性较高的计算方法，并给出针对性例子.【关键词】行列式；递推法；数学归纳法1引言行列式这一名称是著名的法国数学家柯西于1812年提出来的，行列式的计算是高等代数的重要内容”阶行列式的

2、计算是学习中的一个难点，对于阶数较低的行列式，一般直接用定义法计算出结杲，当”较大的时候，直接用定义计算有些困难,所以探讨行列式的计算方法很有必要•通常灵活地运用一些计算技巧和方法，可以简化计算过程•本文介绍了几种行列式的计算方法，如果能够将各种方法掌握并灵活运用，可以很人程度上解决〃阶行列式的计算问题.2行列式的定义首先，我们给出〃阶行列式的輕义.定义2.1⑴由/个元素勺Q,纟11,2,…对组成确:号当项中各元素的行标构成口然排列时，如杲列标爭列为奇排列，则取负号，即一（T）S…心］用厂叫，(2.1)ij袅賦分级扌徵打丿…人的逆序列・称为”

3、阶行列式，简记为宓••刃爰丹一切可能的梆环hw丁不同列的川个元素乘积的代数和（共川项）［各项符号是：的排列为偶排列，肛细号厂如卅列b憾注龙（川2…人式2.1称为〃阶行列式按行标自然顺序排列的展开式，（一1）”（从7匕严2厂…％•称为阶行列式（2・1）的一般项•当，2=1时，一阶行列式问就是数d・3行列式的性质由于计算行列式的时候需要展开行列式，交换行（列），添加一行（列）对行列式进行变换，所以在探讨行列式的计算方法前，我们需要先了解行列式的一些基本性质.定义3.1[，•即”匕11把行列贰D的行列场换后得到的彳跑式滌为D•的转躺1「列式，诃乍a

4、”。12。22显然，行陶。鶴坍转置行歹烷斤互为转單时列琨性质3.1[1]行列式D与它的转置行列式Z7相等.性质3.2[1]交换行列式的两行（列），行列式改变符号，即设〃阶行列式D二交换D的第k行和第$行（2k）得行列式D2n勺，性质3.3[2]性质3.4⑶,贝I」D=—D】・的聊应元聚相同；胎“••••行削我某十彳£（J'J）麻希元益胡公因予研提到给于列式S有两行（宛）II'2・aiV/20=0.列式外面•即性质3.5⑷值为零.性质3.6⑷果行列£陷a如果行列式中有一行~（列）于两个行列式之和，即应元素成比例,%那么这个行列式的ninZ7

5、inUnUn20是两项之和，则此行列式等"11a2•…a性质3.7[5]的相应元素上,把行列式zj）的某二行•（列•）binananl的所有芫素乘以鋪b加到另一行（列）+CjlCi2ananl4求行列式的方法计算行列式一般可以归类为以下几种方法:定义法、化归法、运用拉普拉斯定理法、利用范德蒙德行列式法、拆行（列）法、降阶法、升阶法、递推法、数学归纳法.卜•面我们具体介绍一些方法.4.1定义法定义法一般适用于二阶、三阶行列式或者行列式中有较多0的情况，因为行列式的项中有一个因数为零时，该项的值就为零，故只需求出所有非零项即可.定理4

6、.1.1[1]一个〃阶行列式中等于零的元素个数如果比nxn-n多，则此行列式等于零.证明由行列式定义，该行列式展开后都是料个元素相乘，而〃阶行列式共有/J个元素.若等于零的元素个数大于nm—n,那么非零元素个数就小于〃个，因此该行列式的每一项都至少含-•个零元素，所以每项必等于零，故此行列式等于零.4.2化归法利用行列式的性质，化行列式为上三角形行列式或卜三角形行列式来计算.行列式a10。22a22aa2n称为上三角形行列式，那么02=。11。22…％aiia22ann即上三角形行列式的值等于剛角舸:筍元剖綁平.別并•••0类似地，可得

7、下三角行=三爭行列或购曙壷』疤0）:”C；—1••a—a.—etcaa1°22ann总之，上X:K)a..l1^^22)X-Ql^rr，X务绣士禱耳乘积.色・・卅X%?••其

8、L爲工见©・•0（）x—can=h2…，补r2证明出斤阶行列式的定义，它的展开式应有加项，其一般项为（_]）皿2…人）也届2…％,我们只需求出上述所有可能不为零的项•在2中第〃行元素除d肪外均为0,所以jn=n；在第/?-1行屮，除和％,”外的元素都为零，因此丿“一严料-1或刃，但由于位于同一列，而人”，所以人F-1；依此类推，在展开式中只有一项可能不等于申H且逐缪

9、的列成的”级排列的逆序数位0,故这=吗1。22ann项取正号，由行列式的定义右oa22•…5定理4.3.1C1]（Laplace定理）在斤阶行列式D”中，任意取定R