奈許棋的美麗境界 - 文山國民小學

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1、中市93學年度第45屆國民中小學科學展覽會作品說明書科別：數學科組別：國小組作品名稱：棋樂無窮－奈許棋的美麗境界關鍵詞：奈許棋、棋盤遊戲編號：21棋樂無窮奈許棋的美麗境界壹、摘要生活上我們常覺得平凡的事物，在數學家的眼中可都是值得仔細研究的數學瑰寶，從利用廁所上的壁磚玩棋的這件事可看出奈許對數學的執著，也讓我們對這位偉大的數學家懷抱著興趣。從研究奈許的有趣證明開始，我們希望補足他並未完整解釋的證明，用一些在課堂上所學到的數學知識，找出和驗證奈許棋的致勝策略，並希望能將結果一般化。貳、研究動機在一次老師上課的話題中，介紹到關於數學家奈許的一生，以及描述他為數學而痴狂的傳記電影

2、「美麗的境界」。我們被奈許的一句名言「純粹的數學是美麗的」而吸引，很希望能領略它的美。老師藉此機會向我們介紹奈許在廁所為了打發時間所想出的奈許棋，向來就喜歡下棋的我們，便要求老師教我們奈許棋。在玩棋的過程中，我們發現奈許棋不是一個公平的遊戲，裡面似乎隱藏著某些規律。自此奈許棋的魅力深深地吸引了我們，並進而探求它的奧秘。參、研究目的一、奈許棋棋盤的探討。二、分析奈許棋，從中找出隱藏的數學規則及其是否存在規律性。三、嘗試以另一種方式分析奈許棋，是否能得到意想不到的結果。21肆、研究過程及方法一、奈許棋的玩法介紹奈許棋的棋盤是由許多正六邊形的格子所組成的平行四邊形（如下圖），它的

3、格子數目可以用n×n的符號表示，每一排和每一列的格子數都是相同的，其棋盤格子數目可依下面數列的排列方式一直擴大：4,9,16,25,36…奈許棋是一種兩個人玩的遊戲，一人稱為直方，另一人稱為橫方。直方先下，橫方後下，兩人依序輪流。直方以「│」的符號表示，橫方以「一」的符號表示，直方必須佔有格子，從上到下連成一條通路，橫方則須由左到右連成一條通路，先連成通路的那一方就獲勝。從圖1的棋局，直橫方佔地的狀況可以知道此盤由直方（獲勝）獲勝。圖1二、參考資料研究(一)奈許棋是否會和棋奈許棋的和棋可分為兩種情形。第一：兩方可同時各自連成一條通路。第二：兩方皆無法連成通路。值得注意的是，

4、在第二種情形下，雙方一定是把全部的格子都下滿了仍無法達到目的而得出的結果。1.兩方可同時各自連成一條通路例如橫方已連成一條通路（如圖2所示），拿把剪刀沿著黑線經過的格子剪下來，這樣看來直方已經被橫方分隔開了，就因為被分隔開了，直方到達不了對面。所以以這個例子來看，兩方同時連成一條通路的情形是不可能發生的。21圖22.兩方皆無法連成通路如果出現了兩方皆無法連成通路的狀況，那每個格子一定都被雙方下滿，才有可能出現這種狀況。現在我們拿起剪刀，把橫方的位置點剪開（如圖3所示），可以發現棋盤一定被分成上下兩半。因為如果無法成上下兩半，也就表示直方已連成通路了，這與原來的假設不符。而分

5、開成上下部分的周界，卻剛好是橫方所佔的位置，而此周界又能左右相通，所以橫方可連成一直線。這又跟原來的說法不同，所以不可能有兩方皆無法連成一直線的情形。從上面兩種情形可得知：奈許棋不可能會和棋。奈許棋的玩法圖3(三)奈許棋是公平還是不公平首先我們定義什麼是公平的遊戲：公平的遊戲是指遊戲的玩家在玩遊戲時沒有必勝策略，而不公平的遊戲則有。奈許棋從棋盤的結構上看是個可在有限回合即可結束的遊戲，而在這種架構的遊戲下會有三種結果：先下者贏、後下者贏、和棋。而從上面的討論可知奈許棋遊戲結果只有前兩種情形，我們之後將針對奈許棋在這種狀況下，探討奈許棋是否是公平的遊戲；再來，如果它的確是不公

6、平的遊戲，那它的必勝策略又會在誰手上。21(四)奈許對奈許棋的奇妙證明奈許用了一個奇妙證明，證明後玩者有必勝棋譜的說法是錯誤的。奈許是甲，甲找了乙和丙各玩一盤奈許棋，順序是甲先和乙下一手，之後再和丙下一手，然後再回頭和乙下，之後再和丙下，輪流和兩個人一起玩，而甲都是先下者。假設甲有後玩者必勝棋譜，他給了乙和丙各一份後玩者必勝棋譜。甲先和乙下，甲隨便下了一個位置，乙照著棋譜下了一個子後，換甲跟丙下。在甲和丙的棋局，甲的第一子依照乙下的位置也下同一個位置，然後丙依照必勝棋譜下了一個子後，甲再回頭和乙下。在甲和乙的棋局裡，甲的第二子是照著丙下的位置下同一個位置，之後輪到乙下，甲就

7、以這樣的方式一直下。先看甲和丙的棋局，丙是後下者並且有必勝棋譜，所以丙會贏，甲會輸。再看甲和乙的棋局，因為甲除了第一子之外，其他都是照著丙的棋路走，丙有必勝棋譜，如果不看甲的第一子，甲就變成了後下者，乙就變成了先下者，所以甲會贏。可是乙是後玩者並且也有必勝棋譜，所以乙也會贏。但是奈許棋是個不會和棋的遊戲，所以不可能兩個人都會贏，這也就表示後玩者會贏的說法是錯誤的。我們可由圖4來清楚了解後下者會贏的假設產生矛盾的地方，圖中紅色的英文字所表示的是甲、乙、丙的勝負狀況；而斜箭號所表示的是甲下的棋路是抄乙方或丙方的棋路所加