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1、对大摆角摆动的单摆周期的讨论0818102班学忠1081810207用一根绝对挠性且长度不变，质量可忽略不计的线悬挂一个质点，在重力作用下在铅垂平面内做周期运动，就成为单摆。单摆在摆角小于5°的条件下振动时，可近似认为是l简谐运动。单摆做简谐运动的周期为T=2π跟振幅、摆球的质量无关。g现讨论三种不同的单摆做大摆角运动时其周期。建立模型时区角θ为广义坐标，一，单摆做大摆角无阻尼运动的情况摆球的质量为m，摆长为，单摆做大摆角自由摆动l1.22动能T=mlθ势能V=mgl1(−cosθ)拉格朗日函数L=T−V2d⎛∂
2、L⎞∂L代入拉格朗日第二类方程⎜⎟−=0dt⎜.⎟∂θ⎝∂θ⎠..2得到单摆的运动微分方程mlθ+mglsinθ=0g..22令=ω则运动微分方程变成θ+ωsinθ=000l35θθ由于sinθ=θ−+−•••6120πθ=时取第一项计算得sinθ=.15707963272取前两项计算得sinθ=.0924832229取前三项计算得sinθ=.10045248563故取第一项，再把后面的所有项看成是θ的一个小参数项将运动微分方程写成..223θ+ωθ−εωθ=0将变量换成x再移项得运动微分方程00..223x+ω
3、x=εωx00其齐次方程的解：x=acos(ωt−ϕ)令ωt−ϕ=ψ00用平均法计算：.ε12π.a=−Q(a,ϕ)，其中Q(a,ϕ)=∫f(x,x)sinψdψ2ωπ00.ε12π.ϕ=P(a,ϕ)，其中P(a,ϕ)=∫f(x,x)cosψdψ2ωaπ00.23将x=acos(ωt−ϕ)，f(x,x)=ωx代入Q(a,ϕ),P(a,ϕ)的计算式可得003..3233Q=;0P=ωa于是得a=:0ϕ=εa故a=a（常数）0048.32ω=ω−ϕ=ω1(−εa)00082π2πg2T==其中=ω0ω32lω1(−ε
4、a)008小结：当单摆做大摆角运动时其周期比做小角度摆动时的要大，但周期是一个与摆球质量无关，但与摆长和摆动的幅值有关摆动幅值越大周期将越长。二，物理摆做大摆角运动的情况摆球的质量为m’，摆长为l，摆长是个质量为m的匀质杆121'2动能T=Jω+mv02211.21.222=×mlθ+()l+Rθ2321.21.222=mlθ+m()l+Rθ621'势能V=mgl()(1−cosθ+mgl+R)()1−cosθ2拉格朗日函数L=T−Vd⎛∂L⎞∂L代入第二类拉格朗日方程⎜⎟−=0得dt⎜.⎟∂θ⎝∂θ⎠⎡12'2
5、⎤..⎡1⎤ml+m()l+Rθ+mgl+m'g(l+R)sinθ=0令⎢⎥⎢⎥⎣3⎦⎣2⎦1mgl+m'g(l+R)..222ω=则运动微分方程可变为θ+ωsinθ=000122ml+m('l+R)3..223将变量换成x方程可写成x+ωx=εωx00其齐次方程的解：x=acos(ωt−ϕ)令ωt−ϕ=ψ00用平均法计算：.ε12π.a=−Q()a,ϕ，Q(a,ϕ)=∫f(x,x)sinψdψ2ωπ00.ε12π.ϕ=P(a,ϕ)，P(a,ϕ)=∫f(x,x)cosψdψ2ωaπ00.23将x=acos(ωt−
6、ϕ)，f(x,x)=ωx代入Q(a,ϕ),P(a,ϕ)可得003..3233Q=;0P=ωa于是得a=:0ϕ=εa故a=a0048.32ω=ω−ϕ=ω1(−εa)0081mgl+m'g(l+R)2π2π22T==其中ω=0ω32122ω01(−εa0)ml+m('l+R)83小结：对物理摆而言其周期与摆球质量，摆球半径，摆长，摆长的质量都有关。当物理摆做大摆角自由振动时其周期还与摆动的幅值有关。三，单摆做大摆角有阻尼运动的情况摆球的质量为m，摆长为l，与空气有粘性阻尼阻尼系数为c单摆做大摆角自由摆动1.21.22
7、动能T=mlθ势能V=mgl1(−cosθ)阻尼取函数ψ=c(lθ)22拉格朗日函数L=T−V代入第二类拉格朗日方程d⎛⎜∂L⎞⎟∂L∂ψ−+=0⎜.⎟.dt∂θ⎝∂θ⎠∂θ...g2c22得到单摆的运动微分方程mlθ+mglsinθ+clθ=0令=ω=k0lm用x做变量引入小参数ε...223得运动微分方程x+ωx=ε(ωx−kx)00.2其齐次方程的解：x=acos(ωt−ϕ)；x=−aωsin(ωt−ϕ)；令ωt−ϕ=ψ0000用平均法：...223将x=acos(ωt−ϕ)；x=−aωsin(ωt−ϕ)；
8、f(x,x)=ωx−kx分别代入00003232P(a,ϕ);Q(a,ϕ)的表达式中可得到P(a,ϕ)=ωa；Q(a,ϕ)=kaω004.εkω0εεkaω−tεkω从而a=−Q(a,ϕ)=−0⇒a=ae2=aexp(−0t)002ω220.ε32θ=P(a,ϕ)=εωa02ωa80.32ω=ω−θ=ω1[−aexp(−εkω)]000082π2πg2cT==其中=ω，=
