国外关于数学学习中多元外在表征的研究述评

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1、国外关于数学学习中多元外在表征的研究述评唐剑岚，数学教育学报，第17卷第l期，2008年2月摘要：20世纪80年代以来，随着现代信息技术在教育领域的应用，多元外在表征的研究成了认知科学、教育技术、教育心理学等领域的热门话题．数学学习中多元外在表征的研究主要趋势是：综合运用多种理论和多种研究方法，深入探讨多元外在表征研究对数学学习的价值与意义，建构数学学习中多元表征研究的基本理论；系统思考各种因素探讨运用多元外在表征的教学设计，提高学习效率．关键词：数学；多元外在表征：功能；效果20世纪80年代以来，随着现代信息技术在教育领域的应用，多元外在

2、表征的研究成了认知科学、教育技术、教育心理学等领域的热门话题．同样，表征的研究在国际数学教育领域也是一个鲜活的话题．数学教育心理学国际研讨组(IntemationalGroupforthePsychologyofMathematicsEducation，孙伍)，在1989年专门成立了表征的研究工作组．著名刊物JournalofMathematicalBehavior在1998年专辟两期刊发了表征研究的最新成果．随着信息技术被整合于数学教育中，近十几届的PME研讨组对表征的研究主要关注技术背景下多元表征对学习效果的研究．由于很多领域涉及表征研

3、究，而且争议较多，要想较为完整地对表征的研究进行综述，几乎不太可能．因此，本文围绕近20年来国外关于数学学习中的多元外在表征的含义、类型、特征、功能、对学习的影响与效果等相关研究加以梳理与简评．1、多元外在表征的含义与形式表征，用英语表示为Representation，在认知科学、教育心理学等领域中的含义是指用某一种形式(物理的或心理的)，将一种事、物、想法或知识重新表示出来．因此，一定存在一个“表征”实体集合，也必定存在一个“被表征”的实体集合，表征的概念要求在这两个集合的特性或元素之间有一种映射(Mapping)关系．表征是对客观事物的

4、反映，又是被加工的客体．同一事物的不同表征形式，叫该事物的多元表征．对数学学习中的多元表征的理解，见仁见智．Janvier【2】认为多元表征是指同一数学对象的不同表示形式，可以是心理的、主观的东西，这叫内在表征或心智表征，譬如个体在头脑中建构数学对象的心像(MentalImages)等；表征也可以是外在于人脑的、客观世界的东西，这叫外在表征(ExternalRepresentation)，譬如言语、文字、符号、图片、具体物、活动或实际情境等．一个数学对象的多元表征好比星形的冰山，中心是此对象的核心概念，每一尖端对应着一个表征形式，而完整的一

5、个对象就是整座表征结构的冰山，学生头脑中数学表征冰山的完善性是学生学会和会学数学的重要标志．HIiebem和Carpentert认为外在表征是指以语言、文字、符号、图片、具体物、活动或实际情境等形式存在的表征．内在表征是指存在于学习者头脑里而无法直接观察的心智表征或学习者拥有的心智结构．学习者通过外在表征可以表达出自己的想法而达到沟通和交流的目的，通过内在表征可以进行想象、推理等思维活动．Kaputt认为，当人们在谈及表征时，应该考虑表征了的事件、表征中的事件、表征了的事件正被表征的方面、表征中的事件正在表征的方面和两个事件之间的联系．表征

6、研究除了关注表征活动过程，表征结果也同样重要．Goldin认为，外在表征是从传统的数学符号系统(如数轴、笛卡儿坐标系)到结构性的学习情境(如那些包含具体操作活动的数学学习情境、基于电脑的微观学习环境)，内在表征则指学习者对于数学对象的意义赋予与建构，包括学习者的言语语义、心像、视空间表征、计划监控策略及启发法、数学的情感表征系统等．Cuoco和Curci0认为，学习者若要理解某个数学结构，就必须在这个数学结构与一个更易理解的数学结构之间建立一个映射，而表征就是这个映射过程．它既不是表征的对象(被表征了的数学结构)，也不是表征的目的(较易理解

7、的数学结构)，表征就存在于这种映射活动之中，表征是一个包含对象与其它对象相互转换的“组件”(Packages)．譬如，从电脑上输入的代数表达式不能称为表征，只有当代数式的运算与电脑外界情境的转换有了一种映射，才算是真正的表征．综上，研究者主要是基于信息加工的过程来理解多元表征的．表征既可以看作加工的原材料、资源或载体，又可以看作加工本身或过程，还可以是加工的工具或产品．只是不同研究者侧重点不同而己．如果侧重的是加工本身，那么表征属于认知的过程．如果侧重的是加工的原材料或产品，那么将表征分为外在表征和内在表征是合适的，这是绝大多数研究者研究表

8、征的基本出发点．尽管研究者对外在表征和内在表征的理解有些差异，但却有如下一致的看法：(I)外在表征是客观存在于学习主体外在的实体，具有客观性；内在表征是主体心智结构中的内在对象，