量子力学最后复习

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1、第一章量子力学的诞生1.光电效应：光照射到金属上，有电子从金属上逸出的现象。这种电子称之为光电子。试验发现光电效应有两个突出的特点：（1）存在临界频率（最低频率）；只有当光的频率大于某一定值时，才有光电子发射出来。若光频率小于该值时，则不论光强度多大，照射时间多长，都没有电子产生。光的这一频率称为临界频率。（2）光电子动能只与有关,与光强无关；（3）弛豫时间为零2.Planck-Einstein关系式：假定：与一定能量E和动量p的实物粒子相联系的波（他称之为“物质波”）的频率和波长分别为： ，光电效应方程：当光照射到金属表面时，能量为的光子被电子所吸收，电子把这份能

2、量的一部分用来克服金属表面对它的吸引A，另一部分用来提供电子离开金属表面时的动能。其能量关系可写为：由上式明显看出，能打出电子的光子的最小能量是光电子时由该式所决定，即 ,可见，当时，电子不能脱出金属表面，从而没有光电子产生。 上式亦表明光电子的能量只与光的频率v有关，光的强度只决定光子的数目，从而决定光电子的数目。这样一来，经典理论不能解释的光电效应得到了正确的说明。3.Bohr量子化假设：（1）定态假设：原子能够，而且只能够稳定地存在于分立值能量相应的状态中。（2）跃迁假设(频率条件)原子处于定态时不辐射，但是因某种原因，电子可以从一个能级En跃迁到另一个较低（

3、高）的能级，同时将发射（吸收）一个光子。光子的频率为(3)角动量量子化条件推广的量子化条件，即4.deBroglie物质波假设：Einstein--deBroglie关系式：第二章波函数与Schrödinger方程1.微观粒子的状态用波函数完全描述。几率密度用表示，t时刻在端点附近dV内发现粒子的概率为：。2.统计解释对波函数提出的要求：单值，有限，由于粒子在空间总要出现（不讨论粒子产生和湮灭情况），所以在全空间找到粒子的几率应为一，即：     从而得常数C之值为：  这即是要求描写粒子量子状态的波函数必须是绝对值平方可积的函数。及其导数连续，归一。由于粒子在全空

4、间出现的几率等于一，所以粒子在空间各点出现的几率只取决于波函数在空间各点强度的相对比例，而不取决于强度的绝对大小，因而，将波函数乘上一个常数后，所描写的粒子状态不变，即   和C描述同一状态 可见，和 描述的是同一几率波，所以波函数有一常数因子不定性。3.Heisenberg测不准关系：，即粒子的坐标（位置）和动量不能同时有确定值。它是粒子的波粒二象性的反映。说某一点的动量如同说在某一点的波长一样是无意义的。Heisenberg测不准关系给人们指出了使用经典粒子运动概念的一个限度，此限度用Plank常数h表征。对于宏观系统，，与相比，，量子力学回到经典力学，即量子效

5、应可忽略不计。4.态的叠加原理：微观粒子具有波动性，会产生衍射图样。而干涉和衍射的本质在于波的叠加性，即可相加性，两个相加波的干涉的结果产生衍射。 因此，同光学中波的叠加原理一样，量子力学中也存在波叠加原理。因为量子力学中的波，即波函数决定体系的状态，称波函数为状态波函数，所以量子力学的波叠加原理称为态叠加原理。设体系处于状态，测量力学量A所得值为a1，又体系处于状态，测量力学量A所得值为a2，称为力学量A的相应于本征值a2的本征态。则也是体系的一个状态，这就是态的叠加原理。若，,...,,...是体系的一系列可能的状态，则这些态的线性叠加 （其中为复常数)。也是体

6、系的一个可能状态。处于Ψ态的体系，部分的处于Ψ1态，部分的处于Ψ2态...，部分的处于Ψn，...    5.Schrödinger波动方程或：，其中6.几率守恒的微分表达式：（1）对上式取共轭得：（2）得：令，7.定态：能量取确定值的状态。（1）能量是非简并的：（2）波函数是实函数定态波函数：与时间t无关处于定态下的粒子所具有的特点：a.粒子在空间的几率分布不随时间改变b.任何不显含时间t的力学量的平均值不随时间改变c.力学量（不显含时间t）的测值几率分布也不随时间改变。8.定态Schrödinger方程代入得E既不依赖t也不依赖r,则，或第三章一维定态问题1.一

7、维定态的一般性质：（1）能量是非简并的（2）波函数是实函数（3）如果势函数满足对称条件，则波函数有确定的宇称，不是偶函数，就是奇函数。定理1：设→E，则→E，即能量E可能是二重简并的。定理2：凡是属于E的任何解，均可表成一组实解的线性叠加。这组实解是完备的。定理3：，如→E，则→E。定理4：设V(-x)=V(x)，则对E，总可能找到定态方程的一组完备解,它们之中的每一个解都有确定的宇称。定理5：阶梯形方位势，有限，则及连续（若，定理不成立）。定理6：一维粒子，设和均为定态方程的属于同一能量E的解，则常数（与x无关）定理7：设粒子在规则势场中运动（V(x)无奇点）