量子力学复习

《量子力学复习》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、量子力学总复习第2章波函数与Schördinger方程薛定谔方程——（几率流密度）定态薛定谔方程第3章一维定态问题▲量子力学解题的一般思路①由粒子运动实际情况正确写出势函数V(x)②代入定态薛定谔方程③解方程④解出能量本征值和相应的本征函数⑤求出概率密度分布及其他力学量一维无限深方形势阱本征能量和本征函数的可能取值，，，（n＝1，2，3，……）方势垒的贯穿透射系数为方势阱的穿透与共振可见，若，则T一般很小。除非E取一些特定值，使得。此时，则反射系数——共振透射。此条件为，或按照，改写为，共振能量一维谐振子11量子力学总复习能量量子化，归一化波函数为最常

2、用的几个态，，基态，，（偶宇称），第一激发态，，（奇宇称），第二激发态，，（偶宇称）例：设粒子处在一维无限深方势阱中，证明处于定态的粒子讨论的情况，并于经典力学计算结果相比较。证：设粒子处于第n个本征态，其本征函数.（1）（2）在经典情况下，在区间粒子除与阱壁碰撞（设碰撞时间不计，且为弹性碰撞，即粒子碰撞后仅运动方向改变，但动能、速度不变）外，来回作匀速运动，因此粒子处于范围的几率为，故，（3），11量子力学总复习（4）当时，量子力学的结果与经典力学结果一致。第2章力学量用算符表示、矩阵形式和表象变换对易关系的运算性质：1）2）3）4）对易关系角动量分

3、量与动量分量的对易关系：球谐函数，满足本征值方程，，矩阵形式：平均值公式例：利用测不准关系估算谐振子的基态能量。解：一维谐振子能量。又奇，，，（由(3.8)、(3.9)题可知），，由测不准关系，得。，得11量子力学总复习同理有，。谐振子（三维）基态能量。第五章力学量随时间的演化与对称性全同玻色子体系特例：（1）N=2粒子体系，单粒子态有2个，，粒子的填充情况有两种对称波函数有两个（见前面的讨论）（2）N=3粒子体系单粒子态有3个，，，①[111]则对称波函数可以写为这种对称态有1个②[210]则对称波函数可以写为这种对称态有6个，即，，，，，书写方式同

4、。③[300]则对称波函数可以写为这种对称态有3个，即11量子力学总复习，，书写方式同。第6章中心力场氢原子：能量本征值为，氢原子束缚态的本征函数为最低几个能级的径向波函数是，，，，例：对于氢原子基态，求电子处于经典禁区（即）的几率。解：氢原子基态波函数为，，相应的能量动能是经典不允许区。由上式解出为。因此，电子处于经典不允许区的几率为（令）第七章粒子在电磁场中的运动正常Zeeman效应对碱金属原子，考虑加外场前后的球对称及守恒量问题属性外加磁场前加均匀磁场(沿z方向)后总哈密顿对称性球对称球对称性破坏守恒量(6.1.1)已证明，容易证明?11量子力学

5、总复习守恒量完全集相应的能量本征值为——Larmor频率第八章自旋自旋算符与Pauli矩阵的对角化表象，，第十章微扰论非简并定态微扰理论能量一级修正态矢的一级修正能量的二阶修正例设Hamilton量的矩阵形式为：（1）设c<<1，应用微扰论求H本征值到二级近似；（2）求H的精确本征值；（3）在怎样条件下，上面二结果一致。解：（1）c<<1，可取0级和微扰Hamilton量分别为：，是对角矩阵，是HamiltonH0在自身表象中的形式。所以能量的0级近似为：，，由非简并微扰公式得能量一级修正：11量子力学总复习能量二级修正为：准确到二级近似的能量本征值为

6、：(2)精确解：设H的本征值是E，由久期方程可解得：解得：(3)将准确解按c(<<1)展开：比较（1）和（2）之解，可知，微扰论二级近似结果与精确解展开式不计及以后高阶项的结果相同简并微扰理论例.有一粒子，其Hamilton量的矩阵形式为：，其中11量子力学总复习，，求能级的一级近似和波函数的0级近似。解：的本征值问题是三重简并的，这是一个简并微扰问题。(1)求本征能量由久期方程得：解得：。记为：，，故能级一级近似：简并完全消除(2)求解0级近似波函数将代入方程，得：由归一化条件：取实解：则。将代入方程，得：由归一化条件：取实解：11量子力学总复习则。

7、如法炮制，得第十二章变分法使用试探波函数：1.首先定归一化系数。2.求能量平均值3.变分求极值。代入上式得基态能量近似值为：选取如下试探波函数：1.由试探波函数定归一化系数：。2.求能量平均值11量子力学总复习带入，得3.变分求极值，代入上式得基态能量近似值为：第十一章量子跃迁考虑一维谐振子，荷电q。若初始（）时刻处于基态

8、0〉。设微扰为外电场强度，为参数。试讨论跃迁几率。[分析]在一级近似下，关键是求叠加系数解：利用公式可得当时振子处于激发态

9、n>的振幅为其中。利用一维谐振子的递推公式容易得出可知在一级微扰近似下，从基态只能跃迁到第一激发态（跃迁选择

10、定则）。将上述矩阵元代入跃迁振幅表达式，有所以11量子力学总复习振子仍然停留在基态的几率为。1