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1、题目第七章直线和圆的方程直线方程高考要求理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握由一点和斜率导出直线方程的方法；掌握直线方程的点斜式、两点式和直线方程的一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程知识点归纳1数轴上两点间距离公式：2直角坐标平面内的两点间距离公式：3直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角当直线和x轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0°可见，直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°4直线的斜率：倾斜角α不是90
2、°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k表示，即k=tanα（α≠90°）倾斜角是90°的直线没有斜率；倾斜角不是90°的直线都有斜率，其取值范围是（－∞，+∞）5直线的方向向量：设F1（x1，y1）、F2（x2，y2）是直线上不同的两点，则向量=（x2－x1，y2－y1）称为直线的方向向量向量=（1，）=（1，k）也是该直线的方向向量，k是直线的斜率特别地，垂直于轴的直线的一个方向向量为＝(0,1)6求直线斜率的方法①定义法：已知直线的倾斜角为α，且α≠90°，则斜率k=tanα②公式法：已知直线过两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），且
3、x1≠x2，则斜率k=③方向向量法：若=（m，n）为直线的方向向量，则直线的斜率k=平面直角坐标系内，每一条直线都有倾斜角，但不是每一条直线都有斜率对于直线上任意两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），当x1=x2时，直线斜率k不存在，倾斜角α=90°；当x1≠x2时，直线斜率存在，是一实数，并且k≥0时，α=arctank；k＜0时，α=π+arctank7直线方程的五种形式点斜式：，斜截式：两点式：，截距式：一般式：例2已知两直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0的交点为P（2，3），求过两点Q1（a1，b1）、Q2（a2，b2）（a1≠
4、a2）的直线方程分析：利用点斜式或直线与方程的概念进行解答解：∵P（2，3）在已知直线上，∴2a1+3b1+1=0，2a2+3b2+1=0∴2（a1－a2）+3（b1－b2）=0，即=－∴所求直线方程为y－b1=－（x－a1）∴2x+3y－（2a1+3b1）=0，即2x+3y+1=0点评：此解法运用了整体代入的思想，方法巧妙例3一条直线经过点P（3，2），并且分别满足下列条件，求直线方程：（1）倾斜角是直线x－4y+3=0的倾斜角的2倍；（2）与x、y轴的正半轴交于A、B两点，且△AOB的面积最小（O为坐标原点）分析：（2）将面积看作截距a、b的函数，求函数
5、的最小值即可解：（1）设所求直线倾斜角为θ，已知直线的倾斜角为α，则θ＝2α，且tanα＝，tanθ＝tan2α＝，从而方程为8x－15y+6=0（2）设直线方程为＋＝1，a＞0，b＞0，代入P（3，2），得＋＝1≥2，得ab≥24，从而S△AOB＝ab≥12，此时＝，∴k＝－＝－∴方程为2x+3y－12=0点评：此题（2）也可以转化成关于a或b的一元函数后再求其最小值例4过点(2,1)作直线分别交x,y轴正并轴于A，B两点(1)当ΔAOB面积最小时，求直线的方程;(2)当
6、PA
7、´
8、PB
9、取最小值时，求直线的方程解：(1)设所求的直线方程为(a>0,b>0
10、),由已知于是=,∴SΔAOB=³4,当且仅当,即a=4,b=2时取等号,此时直线的方程为,即x+2y─4=0(2)解法一:设直线:y─1=k(x─2),分别令y=0,x=0,得A(2─,0),B(0,1─2k)则
11、PA
12、´
13、PB
14、==³4,当且仅当k2=1,即k=±1时,取最小值,又k<0,∴k=─1,此时直线的方程为x+y─3=0解法二:如图,设∠PAO=θ,则
15、PA
16、=1/sinθ,
17、PB
18、=2/cosθ(0<θ<π/2),∴
19、PA
20、´
21、PB
22、=2/(sinθcosθ)=4/sin2θ³4,∴当且仅当sin2θ=─1即θ=3π/4时，
23、PA
24、´
25、PB
26、
27、取最小值4,此时直线的斜率为─1,方程为x+y─3=0点评：本题分别选用了截距式和点斜式，应根据条件灵活选用直线方程的形式例5直线被两条直线:4x+y+3=0和:3x─5─5=0截得的线段中点为P(─1,2),求直线的方程解：设点(a,b)在上，依题意，(─2─a,4─b)在直线上,∴,解之得：由两点式得直线AB的方程为:3x+y+1=0例6已知两点A（－1，2）、B（m，3）（1）求直线AB的斜率k与倾斜角α；（2）求直线AB的方程；（3）已知实数m∈［－－1，－1］，求直线AB的倾斜角α的取值范围．解：（1）当m=－1时，直线AB的斜率不存在，倾斜角α＝
28、．当m≠－1时，k＝，当m＞－1时，α＝arctan
