直线与圆的方程综合题、典型题[1]

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1、直线与圆的方程综合题、典型题、高考题主讲：曹老师2012年4月301、已知，直线：和圆：．（1）求直线斜率的取值范围；（2）直线能否将圆分割成弧长的比值为的两段圆弧？为什么？解析：（1）直线的方程可化为，直线的斜率，因为，所以，当且仅当时等号成立．所以，斜率的取值范围是．（2）不能．由（1）知的方程为，其中．圆的圆心为，半径．圆心到直线的距离．由，得，即．从而，若与圆相交，则圆截直线所得的弦所对的圆心角小于．所以不能将圆分割成弧长的比值为的两段弧．2、已知圆C：，是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点，若存在

2、求出直线l的方程，若不存在说明理由。解析：圆C化成标准方程为假设存在以AB为直径的圆M，圆心M的坐标为（a，b）由于CM⊥l，∴kCM×kl=－1∴kCM=，即a+b+1=0，得b=－a－1①直线l的方程为y－b=x－a，即x－y+b－a=0CM=∵以AB为直径的圆M过原点，∴，∴　　②把①代入②得　，∴当此时直线l的方程为x－y－4=0；当此时直线l的方程为x－y+1=0故这样的直线l是存在的，方程为x－y－4=0或x－y+1=0评析：此题用,联立方程组，根与系数关系代入得到关于b的方程比较简单3、已知点A(－2，－1)和B(2，3

3、)，圆C：x2＋y2=m2，当圆C与线段AB没有公共点时，求m的取值范围.解：∵过点A、B的直线方程为在l：x－y＋1=0,作OP垂直AB于点P，连结OB.由图象得：

4、m

5、＜OP或

6、m

7、＞OB时，线段AB与圆x2＋y2=m2无交点.（I）当

8、m

9、＜OP时，由点到直线的距离公式得：，即.（II）当＞OB时,,即.∴当和时，圆x2＋y2=m2与线段AB无交点.4、．已知动圆与轴相切，且过点.⑴求动圆圆心的轨迹方程；⑵设、为曲线上两点，，，求点横坐标的取值范围.解：⑴设为轨迹上任一点，则（4分）化简得：为求。（6分）⑵设，，∵∴（8分）∴或

10、为求（12分）5、将圆按向量平移得到圆，直线与圆相交于、两点，若在圆上存在点，使求直线的方程.解：由已知圆的方程为，按平移得到.∵∴.即.又，且，∴.∴.设，的中点为D.由，则，又.∴到的距离等于.即，∴.∴直线的方程为：或.6、已知平面直角坐标系中O是坐标原点，，圆是的外接圆，过点（2，6）的直线被圆所截得的弦长为（1）求圆的方程及直线的方程；（2）设圆的方程，，过圆上任意一点作圆的两条切线，切点为，求的最大值.解：因为，所以为以为斜边的直角三角形，所以圆：（2）1）斜率不存在时，：被圆截得弦长为，所以：适合2）斜率存在时，设：即因

11、为被圆截得弦长为，所以圆心到直线距离为2所以综上，：或（3）设，则．在中，，由圆的几何性质得，所以，由此可得则的最大值为.7、已知圆，直线过定点。（1）若与圆相切，求的方程；（2）若与圆相交于丙点，线段的中点为，又与的交点为，判断是否为定值，若是，则求出定值；若不是，请说明理由。解：（1）①若直线的斜率不存在，即直线是，符合题意。……2分②若直线斜率存在，设直线为，即。由题意知，圆心以已知直线的距离等于半径2，即：，解之得……5分所求直线方程是，……6分（2）解法一：直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，可设直线方程为由得……8分又直

12、线与垂直，由得……11分∴……13分为定值。故是定值，且为6。……15分8、已知过点,且与:关于直线对称.(Ⅰ)求的方程；(Ⅱ)设为上的一个动点,求的最小值；(Ⅲ)过点作两条相异直线分别与相交于,且直线和直线的倾斜角互补,为坐标原点,试判断直线和是否平行?请说明理由.解:(Ⅰ)设圆心,则,解得…………(3分)则圆的方程为,将点的坐标代入得,故圆的方程为………(5分)(Ⅱ)设,则,且==,…………………………(7分)所以的最小值为(可由线性规划或三角代换求得)…(10分)(Ⅲ)由题意知,直线和直线的斜率存在,且互为相反数,故可设,,由,

13、得………(11分)因为点的横坐标一定是该方程的解,故可得同理,,所以=所以,直线和一定平行……………………………………(15分)9、NCMQPOAxy···lml第17题已知过点的动直线与圆：相交于、两点，是中点，与直线：相交于.（１）求证：当与垂直时，必过圆心；（２）当时，求直线的方程；（３）探索是否与直线的倾斜角有关，若无关，请求出其值；若有关，请说明理由.NCMQPOAxy···lml第17题解析：（１）∵与垂直，且，∴，故直线方程为，即………2分∵圆心坐标（0，3）满足直线方程，∴当与垂直时，必过圆心……………………4分（２）

14、①当直线与轴垂直时,易知符合题意…………………6分②当直线与轴不垂直时,设直线的方程为，即，∵，∴，………………………………………8分则由，得,∴直线：.故直线的方程为或………………………………………10分（３）∵,∴…