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1、16.1直线与直线方程【考纲要求】1.理解直线的倾斜角，掌握过两点的直线斜率的计算公式，会求直线的斜率.2.掌握直线方程的五种形式，了解斜截式与一次函数的关系，根据所给条件确定直线方程.3.掌握判断两直线位置关系的方法，掌握点到直线的距离，两平行直线的距离.4.与导数结合求直线的斜率及范围.【命题规律】直线的概念与直线方程是解析几何的基础，在高考中与直线相关的考题较多，但单独命题不多，主要以填空为主，考查直线的斜率及范围，直线的倾斜角及范围，直线的方程与两直线的平行与垂直的条件，也常常与向量结合，在知
2、识交汇点命题，题目一般比较容易.【知识回顾】1.直线的倾斜角（1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，把轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为直线的倾斜角.规定与轴平行或重合的直线的倾斜角为.（2）一条直线有且只有一个倾斜角，倾斜角的取值范围是或，（3）三个前提：①直线向上方向，②与轴正向，③所成的最小正角2.直线的斜率（1）给定两点，如果，那么经边P、Q两点的直线的斜率公式为：当时，直线的斜率不存在，（2）当直线的倾斜角时（即直线与轴不垂直），斜率与倾斜
3、角的关系：当直线的倾斜角时（即直线与轴垂直），直线的斜率不存在.注：①所有的直线都有倾斜角，但不一定都有斜率；②当时，或；当时，斜率不存在.③在研究直线问题时，一般分为两类：一类是直线的斜率不存在问题，即直线垂直于轴；另一类是直线的斜率存在问题。所以有时需要分类讨论。3.直线的方程（1）直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式不含与轴垂直的直线斜截式不含与轴垂直的直线两点式不含与轴垂直的直线和与轴垂直的直线截距式不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式所有直线都适用（2）直线方程之间的转换直线方程任一形式
4、都可化为一般式，而直线方程的一般式在一定条件下才能化为其它形式。①化为斜截式：；5/5②化为截距式：；③化为点斜式：.4.两条直线的位置关系斜截式一般式方程相交垂直平行且重合且5.距离公式（1）两点间距离：已知两点，则.（2）点到直线的距离：.（直线应化为一般式）（3）两平行直线与的距离：（系数对应相等）（4）两平行直线与的距离：（斜率应相等）（5）直线上两点间距离：设直线上两点之间的距离：（即弦长公式）6.对称问题（1）中心对称：若点及关于对称，则由中点坐标公式得，则点关于点的对称点为（2）点关于直
5、线对称若点关于直线的对称点应满足5/5【典例分析】题型一、直线的倾斜角和斜率例1.直线的倾斜角的取值范围是.分析：先求斜率的取值范围，再求倾斜角的取值范围。解：因为直线的斜率为，设直线的倾斜角为，则.又因为，即所以例2.直线的倾斜角的取值范围是.解：设倾斜角为，则.,.题型二、求直线的方程例3.已知直线过点，且倾斜角的正弦值是，求直线的方程解：设直线l的倾斜角为,则，的方程为，即或。例4.直线经过点，且点到的距离等于1，求直线的方程；解：(1)当直线的斜率存在时，设直线的斜率为，则直线的点斜式方程为,
6、即.由题意，得，解得即所求直线的方程是.(2)当直线的斜率不存在时，直线的方程是,满足题意.综上，所求直线l的方程是或.题型三、与直线方程有关的最值问题例5.直线过点M(2,1),且分别与轴交于A、B两点，为原点.求当△AOB面积最小时，求直线的方程.解：方法一:如图所示，直线如果通过一、二、三或一、三、四象限时，面积不存在最小值（最小值越来越趋于0）.因此只考虑直线与轴正方向相交的情况，这时斜率必为负值.设直线的方程为y-1=k(x-2)(k＜0),则有与，5/5当且仅当，即时，等号成立。故直线的方
7、程为，即。方法二：设过的直线为,则，由基本不等式得,故,当且即时，等号成立，故直线方程为,即x+2y-4=0.例6.已知实数满足，试求：的最大值与最小值。解：如图，由的几何意义可知，它表示定点与曲线段AB上任一点连线的斜率k,由图可知：，由已知可得:A(1,1),B(-1,5),，即的最大值为8，最小值为题型四、两条直线位置关系的判定和应用例7.已知直线和直线（1）试判断与是否平行；（2）当时，求的值；分析:可以把直线化成斜截式，运用斜率或截距的数量关系来判断求解，但由于直线的斜率可能不存在，就必须进
8、行分类讨论；也可以运用一般式方程中的系数关系来判断或求解，这样可以避免讨论.解：（1）方法一：当时，，，不平行于当时，，，不平行于当且时，两直线化为由综上可知，当时；否则与不平行.方法二：由；由5/5故当时，；否则与不平行.（2）方法一：当时,,所以与不垂直，故不成立;当时，由方法二：由题型五、交点及直线系问题例8.求经过直线和的交点且垂直于直线的直线的方程。解:方法一：由，.的斜率，∴的斜率，∴.方法二：由，可设.∵的交点可以求得为.∴5×(-1)+3
