【素材】《证明》三角形外角性质及应用（苏科）

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1、三角形外角的性质及应用 角是平面几何中基本的、重要的概念之一，也是学好直线形和圆的基础。本文谈谈三角形外角的性质及应用。一. 三角形外角的概念及特征如图1，像∠ACD那样，三角形的一边与另一条边延长线组成的角叫三角形的外角。图1外角特征：（1）顶点在三角形的一个顶点上，如∠ACD的顶点C是△ABC的一个顶点；（2）一条边是三角形的一边，如∠ACD的一条边AC正好是△ABC的一条边；（3）另一条边是三角形某条边的延长线如∠ACD的边CD是△ABC的BC边的延长线。 二. 性质  1. 三角形的外角与它相邻的内角互补。  2. 三角形的一

2、个外角等于和它不相邻的两个内角的和。  3. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。  4. 三角形的外角和等于360°。 三. 应用  1. 求角的度数  例1. 一个三角形的两个内角分别是55°和65°，这个三角形的外角不可能是（    ）A.115°               B.120°               C.125°               D.130°解析：如图2，∠A的外角为：180°=125°。∠B的外角为：180°－65°=115°∠ACB的外角为：55°+65°=120°所以选D。图2   

3、例2. 如图3，AB//CD，∠B=23°，∠D=42°，则∠E=（    ）A.23°                 B.42°                 C.65°                 D.19°图3解析：延长BE交CD于F因为AB//CD所以∠1=∠B=23°∠BED是△EDF的外角则∠BED=∠1+∠D=23°+42°=65°故选C。   例3. 如图4，AB=AC，∠BAD=，且AE=AD，则∠EDC=（    ）A.                 B.                  C.     

4、            D. 图4解析：设∠EDC=x°因为∠ADC是△ABD的外角所以∠ADC=∠ABC+∠BAD即∠ADE+x=∠ABC+                                   （1）因为AB=AC，AD=AE所以∠B=∠C，∠ADE=∠AED而∠AED是△DEC的外角所以∠AED=∠EDC+∠C即∠AED=x+∠C                                             （2）将（2）代入（1）得：所以所以选A。   2. 判定三角形的形状  例4. 已知三角形的一个

5、外角小于与它相邻的内角，那么这个三角形是（    ）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 以上三种情况都有可能解析：如图5，在三角形ABC中，∠BAC的外角∠CAD<∠BAC而∠CAD+∠BAC=180°即：∠CAD=180°－∠BAC所以180°－∠BAC<∠BAC所以∠BAC>90°故选C图5   3. 证明两角相等  例5. 如图6，在△ABC中，AB=AC，D、E分别在BC、AC边上，且∠ADE=∠B，AD=DE。求证：△ADB≌△DEC。图6分析：因为∠ADC是△ADB的外角所以∠ADC=∠B+∠BAD而∠A

6、DE=∠B，∠ADC=∠ADE+∠CDE所以∠ADE+∠CDE=∠ADE+∠BAD因此∠BAD=∠CDE又AB=AC，可得∠B=∠C而AD=DE所以△ADB≌△DEC   例6. 在等边三角形中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD=60°，BP=1，，则△ABC的边长为（    ）A.3               B.4               C.5               D.6图7分析：因为△ABC为等边三角形，所以∠B=∠C=60°又因为∠APC是△ABP的外角所以∠APC=∠B+∠BAP而∠B=∠APD=6

7、0°所以∠BAP=∠CPD又∠B=∠C，所以△ABP∽△PCD所以。设△ABC边长为x，则解得x=3故选A   4. 证明角度不等关系  例7. 已知，如图8，在△ABC中，D是三角形内一点，求证：∠BDC>∠BAC。图8证明：延长BD交AC于E在△ABE中，∠BEC>∠A在△CDE中，∠BDC>∠BEC所以∠BDC>∠A   例8. 已知：如图9，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，E是AD上一点，求证：∠DEC>∠ABC。图9证明：因为∠BAC=90°所以∠BAD+∠DAC=90°又因为AD⊥BC所以∠ADB=90°所

8、以∠ABC+∠BAD=90°所以∠ABC=∠DAC又因为∠DEC是△AEC外角所以∠DEC>∠DAC所以∠DEC>∠ABC   5. 证明角度的和差关系  例9. 如图10，已知：在△ABC中，AB>AC，∠AEF=∠A