【提升练习】《矩形的性质与判定》（数学北师大九上）

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1、《矩形的性质》提升练习合肥市第三十八中学徐晶　一．选择题（共2小题）1．如图，在矩形ABCD中，O为AC中点，EF过O点且EF⊥AC分别交DC于F，交AB于E，点G是AE中点且∠AOG=30°，则下列结论正确的个数为（　　）（1）DC=3OG；（2）OG=12BC；（3）△OGE是等边三角形；（4）S△AOE=16SABCD．A．1个B．2个C．3个D．4个2．如图，四边形ABCD是矩形，AB：AD=4：3，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连接DE，则DE：AC=（　　）A．1：3B．3：8C．8：2

2、7D．7：25　二．解答题（共3小题）3．如图，已知矩形ABCD，AB=3，BC=3，在BC上取两点E、F（E在F左边），以EF为边作等边三角形PEF，使顶点P在AD上，PE、PF分别交AC于点G、H．（1）求△PEF的边长；（2）若△PEF的边EF在线段BC上移动．试猜想：PH与BE有什么数量关系？并证明你猜想的结论．4．如图所示，在矩形ABCD中，AB=12，AC=20，两条对角线相交于点O．以OB、OC为邻边作第1个平行四边形OBB1C，对角线相交于点A1；再以A1B1、A1C为邻边作第2个平行四边形

3、A1B1C1C，对角线相交于点O1；再以O1B1、O1C1为邻边作第3个平行四边形O1B1B2C1…依此类推．（1）求矩形ABCD的面积；（2）求第1个平行四边形OBB1C，第2个平行四边形和第6个平行四边形的面积．5．如图，已知矩形ABCD中，AB=4cm，AD=10cm，点P在边BC上移动，点E、F、G、H分别是AB、AP、DP、DC的中点．（1）求证：EF+GH=5cm；（2）求当∠APD=90°时，EFGH的值．　参考答案　一．选择题（共2小题）1．【解答】解：∵EF⊥AC，点G是AE中点，∴OG=

4、AG=GE=12AE，∵∠AOG=30°，∴∠OAG=∠AOG=30°，∠GOE=90°﹣∠AOG=90°﹣30°=60°，∴△OGE是等边三角形，故（3）正确；设AE=2a，则OE=OG=a，由勾股定理得，AO=AE2-OE2=(2a)2-a2=3a，∵O为AC中点，∴AC=2AO=23a，∴BC=12AC=12×23a=3a，在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB=(23a)2-(3a)2=3a，∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=3a，∴DC=3OG，故（1）正确；∵OG=a，12BC=32a，∴BC

5、≠12BC，故（2）错误；∵S△AOE=12a•3a=32a2，SABCD=3a•3a=33a2，∴S△AOE=16SABCD，故（4）正确；综上所述，结论正确是（1）（3）（4）共3个．故选：C．2．【解答】解：从D，E处向AC作高DF，EH，垂足分别为F、H．设AB=4k，AD=3k，则AC=5k．由△AEC的面积=12×4k×3k=12×5k×EH，得EH=125k；根据勾股定理得CH=95k．所以DE=5k﹣95k×2=7k5．所以DE：AC=7：25．故选：D．　二．解答题（共3小题）3．【解答】

6、解：（1）过P作PQ⊥BC于Q．∵矩形ABCD∴∠B=90°，即AB⊥BC，又AD∥BC，∴PQ=AB=3，∵△PEF是等边三角形，∴∠PFQ=60°．在Rt△PQF中，PF=2，∴△PEF的边长为2；（2）在Rt△ABC中，AB=3，BC=3，tan∠1=ABBC=33，∴∠1=30°．（5分）∵△PEF是等边三角形，∴∠2=60°，PF=EF=2．（6分）∵∠2=∠1+∠3，∴∠3=30°，∠1=∠3．∴FC=FH．（7分）∵PH+FH=2，BE+EF+FC=3，∴PH﹣BE=1．（8分）注：每题只给了

7、一种解法，其他解法按本评标相应给分．　4．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，AC=20，AB=12∴∠ABC=90°，BC=AC2-AB2=202-122=16∴S矩形ABCD=AB•BC=12×16=192．（2）∵OB∥B1C，OC∥BB1，∴四边形OBB1C是平行四边形．∵四边形ABCD是矩形，∴OB=OC，∴四边形OBB1C是菱形．∴OB1⊥BC，A1B=12BC=8，OA1=12OB1=OB2-A1B2=6；∴OB1=2OA1=12，∴S菱形OBB1C=12BC•OB1=12×16×12=

8、96；同理：四边形A1B1C1C是矩形，∴S矩形A1B1C1C=A1B1•B1C1=6×8=48；‥‥‥第n个平行四边形的面积是：Sn=1922n∴S6=19226=3．　5．【解答】（1）证明：∵矩形ABCD，AD=10cm，∴BC=AD=10cm．∵E、F、G、H分别是AB、AP、DP、DC的中点，∴EF+GH=12BP+12PC=12BC．∴EF+GH=5cm．（2）解：∵矩形ABCD，∴∠B=∠C=90°