重积分在直角坐标系下的计算(II)

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1、二重积分在直角坐标系下的计算二、典型例题一、二重积分计算公式三、利用对称性简化二重积分的计算想一想：能不能用定积分的方法来求曲顶柱体的体积？利用平行截面面积为已知的几何体体积的计算方法.曲顶柱体的体积.曲顶柱体的体积综合上述两种“曲顶柱体”体积计算方法，得到就是说，二重积分可以通过两次定积分来计算。如果积分区域为：其中函数、在区间上连续.一、利用直角坐标系计算二重积分［X－型］特点:穿过D内部且垂直于x轴的直线与D的边界相交不多于两点.应用计算“平行截面面积为已知的立体体积”的方法［X－型］如果积分区域为：［Y－型］

2、特点:穿过D内部且垂直于y轴的直线与D的边界相交不多于两点.［Y－型］情况三:若D既是x—型区域,又是y—型区域.x0yx0yx0y则既可先对x积分,又可先对y积分.当用某次序算二重积分不好算时,可改换积分次序,可能好算.此时,情况四:若D的形状较复杂,既不是x—型区域,也不是y—型区域.xy0D1D2D3D则可用一些平行于x轴和平行于y轴的直线将其分成若干块,使每一块或为x—型,或为y—型,分块积.如图二、典型例题例1例1例2解例3解12345-2-1123解两曲线的交点例4例5.关于分段落函数在D上的积分.其中D

3、：0x1,0y1解：积分区域如图记f(x,y)=

4、y–x

5、=y–x,当yx时,x–y,当y

6、1.如图：故原式=yx0Dy=x例6解选择适当的积分顺序，有时能使积分变得简便，易行。在作题时，当按某一顺序积分很难，或不可行时，可改换积分顺序试一试。使用对称性时应注意1.积分区域关于坐标轴的对称性.2.被积函数在积分区域上关于两个坐标变量的奇偶性.只有当积分区域和被积函数的对称性相匹配时,才能简化.三、利用对称性简化二重积分的计算二重积分计算的简化yx0D2D1二重积分计算的简化yx0D2D1二重积分计算的简化二重积分计算的简化yx0D2y=xD1例1.(1)易知yx0(x0,y0)(y0,x0)y=xy0x0例

7、2解例3计算其中D由所围成.解:令(如图所示)显然,内容小结(1)二重积分化为累次积分的方法直角坐标系情形:若积分区域为则若积分区域为则机动目录上页下页返回结束则(2)一般换元公式且则极坐标系情形:若积分区域为在变换下机动目录上页下页返回结束(3)计算步骤及注意事项•画出积分域•选择坐标系•确定积分序•写出积分限•计算要简便域边界应尽量多为坐标线被积函数关于坐标变量易分离积分域分块要少累次积好算为妙图示法不等式(先积一条线,后扫积分域)充分利用对称性应用换元公式机动目录上页下页返回结束思考与练习1.设且求提示:交换积

8、分顺序后,x,y互换机动目录上页下页返回结束2.交换积分顺序提示:积分域如图机动目录上页下页返回结束