重积分在球坐标系下的计算.ppt

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1、一、球面坐标系三重积分在球坐标系下的计算二、典型例题0xzyM(r,,)rNyxz.一、球面坐标系..SrMyzx0r=常数:=常数:球面S动点M(r,,)球面坐标的坐标面Cr=常数:=常数:S球面S半平面P动点M(r,,)Myzx0P=常数:锥面C.球面坐标的坐标面rdrdrsinxzy0圆锥面rd球面r圆锥面+d球面r+dr元素区域由六个坐标面围成：drsind16.球面坐标下的体积元素半平面及+d；半径为r及r+dr的球面；圆锥面及+

2、drdrdxzy0drd元素区域由六个坐标面围成：rsind16.球面坐标下的体积元素.半平面及+d；半径为r及r+dr的球面；圆锥面及+dr2sindrddsindrddr2rcos)把三重积分的变量从直角坐标变换为球面坐标的公式二、典型例题适用范围1)积分域表面用球面坐标表示时方程简单;2)被积函数用球面坐标表示时变量互相分离0xzyrR对r:从0R积分,得半径任取球体内一点10xzyMrR对r:从0R积分,得半径任取球体内一点对:从0积分，.1

3、对r:从0R积分,得半径任取球体内一点对:从0积分，R对:从0积分，得球体.10xzy得锥面0xzyR.对r:从0R积分,得半径任取球体内一点对:从0积分，对:从0积分，得球体0得锥面I=V当f=1,.1球系下确定积分限练习1为全球体2为空心球体3为上半球体4为右半球体5为球体的第一、二卦限部分......2z0xya化为球系下的方程r=2acos.M.r3P164.10.(2)例4:解1:解2在柱面坐标系中计算例5.计算三重积分解:在球面坐标系下所围立体.其

4、中与球面机动目录上页下页返回结束P165.10.(1)例6.计算解:的表达式中含x2+y2+z2,可用球面坐标求积分.x=rsincos,y=rsinsin,z=rcos.且两球面方程分别为r=b和r=a,(a

5、用柱面坐标，一般先对Z次对p后对θ积分。当Ω为球域（或其一部分）或被积函数采用球面坐标，否则采用直角坐标。2.三重积分化为三次定积分，无论选择什么坐标系和积分次序最里层积分上下限一般是外面两层积分变量的函数，中层积分上下限是外层积分变量函数，最外层上下限一定是常数，无论哪层上限必大于下限。3。关于最里层积分的定限：若积分变量是dx一用平行x轴直线若积分变量是dy一用平行y轴直线若积分变量是dz一用平行z轴直线穿过Ω，观察穿入穿出的情况定限。若积分变量是dp时一定要从原点出发发出射线穿过区域观察穿进穿出

6、情况定限。内容小结积分区域多由坐标面被积函数形式简洁,或坐标系体积元素适用情况直角坐标系柱面坐标系球面坐标系变量可分离.围成;机动目录上页下页返回结束