三重积分在球坐标系下的计算.pdf

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1、三、三重积分在球坐标系中的计算规定：设M(x,y,z)为空间内一点，则点M可用0r,0,02.三个有次序的数r，，来确定，其中r为原如图，三坐标面分别为点O与点M间的距离，为有向线段OM与z轴正向所夹的角，为从正z轴来看自x轴按r为常数球面；逆时针方向转到有向线段OP的角，这里P为为常数半圆锥面；点M在xoy面上的投影，这样的三个数r，，为常数半平面．就叫做点M的球面坐标．如图，如图，zz设点M在xoy面上的投影为P，rM(x,y,z)dr球面坐标系中的体积元素为d点P在x轴上的投影为A，zrsinrsin

2、dordxy2r则OAx,APy,PMz.AdVrsindrdd,yPdxo球面坐标与直角坐标的关系为yf(x,y,z)dxdydzdxrsincos,x2222yrsinsin,xyzr2f(rsincos,rsinsin,rcos)rsindrdd.zrcos.球坐标中的定限问题：f(x,y,z)dxdydz01关于的限：将V向xoy面投影，得D1,对D1按2()r1(,)ddf(rsincos,rsinsin,rco

3、s)平面极坐标定的范围。若0D,则02.1()r2(,)120rsindr2关于的限：对固定的(,),过z轴作一特例半平面与V相交，得截面域D2,对D2按平面极坐若为x2y2z2R2,则标确定角的取值范围。若0D2,则0。{(,,):02,0,0rR}.03关于r的限：对固定的(,),((),()),1212f(x,y,z)dxdydz从原点出发作射线，此射线从rr1(,)穿进域V,从2R2rr2(,)穿出域V,则r1(,

4、)rr2(,).0d0d0f(rsincos,rsinsin,rcos)rsindr122例5计算I(xy)dxdydz，其中是锥面I(x2y2)dxdydz222xyz，与平面za(a0)所围的立体.a2解1采用球坐标系d4dcosr4sin3dr000azar,cos5431a2sin(0)d05cos5222xyz,45a.a10:0r,0,02,cos4222222解2采用柱坐标系例6求曲面xy

5、z2a与zxy所围成的立体体积.x2y2z2z,Dx2y2a2:,解由锥面和球面围成，采用球坐标系，:za,0a,02,2222由xyz2a2aa222I(xy)dxdydz0d0ddzr2a,22aa4a5zxy,23(a)d2[a]a5.404510:0r2a,0,02,4例7设函数f(u)有一阶连续导数，f(0)0,由三重积分的性质知Vdxdydz,1222求limf(xyz)dxdydz

6、,(t0).t0t52222xyzt22a42222V0d0d0rsindr解f(xyz)dxdydz2222xyzt2t3ddf(r2)r2sindr24sin(2a)d4(21)a3.000033t224f(r)rdr02例8已知1222ltim05f(xyz)dxdydz11x24x2y2t2222222xyztIdxdyx2y2zxyzdz-11x2t3224f(r)rdr4f(t2)t2lim0li

7、m试写出I在柱坐标系与球坐标系中的累次积分，54t0tt05t并任选一种方法计算I的值。224f(t)8tf(t)lim2lim解由累次积分的上、下限可知，积分区t05tt010t域在xoy面上的投影为422f(0)Dxy:xy15所以在柱坐标系中221422221422IddzzdzIddzzdz000033221412222在球坐标系中0d0d2zd(z)326242118Iddrsincosdrd(83)d000

8、0033312d3dsinr4sincosdr