部分计算机图形学Bezier曲线

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1、2021/8/6李辉副教授Bezier曲线Rayray@mail.buct.edu.cn2021/8/6第10部分Bezier曲线内容Bezier曲线历史Bezier曲线的定义Bernstein基函数的性质Bezier曲线的性质Bezier曲线的递推算法Bezier曲线的拼接Bezier曲线的升阶和降阶2021/8/6第10部分Bezier曲线Bezier曲线历史由于几何外形设计的要求越来越高,传统的曲线曲面表示方法,已不能满足用户的需求。1962年，法国雷诺汽车公司的P.E.Bezier构造了一种以逼近为基础的参数曲线和曲面的设计方法，并用这种方法完成了一种

2、称为UNISURF的曲线和曲面设计系统，1972年，该系统被投入了应用。2021/8/6第10部分Bezier曲线三次Bezier曲线示例0P1P2P3P0P1P2P3P2021/8/6第10部分Bezier曲线Bezier曲线的定义定义给定空间n+1个点的位置矢量Pi（i=0，1，2，…，n），则Bezier曲线可定义为：其中：Pi构成该Bezier曲线的特征多边形，Bi,n(t)是n次Bernstein基函数：2021/8/6第10部分Bezier曲线Bernstein基函数的性质正性端点性质2021/8/6第10部分Bezier曲线权性对称性2021/8

3、/6第10部分Bezier曲线递推性2021/8/6第10部分Bezier曲线导函数2021/8/6第10部分Bezier曲线Bezier曲线的性质端点性质曲线端点位置矢量由Bernstein基函数的端点性质可以推得，当t=0时，P(0)=P0；当t=1时，P(1)=Pn。由此可见，Bezier曲线的起点、终点与相应的特征多边形的起点、终点重合。2021/8/6第10部分Bezier曲线切矢量当t=0时，P’(0)=n(P1-P0)，当t=1时，P’(1)=n(Pn-Pn-1)，说明Bezier曲线的起点和终点处的切线方向和特征多边形的第一条边及最后一条边的走

4、向一致。2021/8/6第10部分Bezier曲线二阶导矢当t=0时当t=1时结论：2阶导矢只与相邻的3个顶点有关2021/8/6第10部分Bezier曲线对称性由控制顶点构造出的新Bezier曲线，与原Bezier曲线形状相同，走向相反。因为：2021/8/6第10部分Bezier曲线凸包性且Bezier曲线P(t)在中各点是控制点Pi的凸线性组合，即曲线落在Pi构成的凸包之中。凸包2021/8/6第10部分Bezier曲线几何不变性Bezier曲线位置与形状与其特征多边形顶点Pi(i=0,1,…,n)的位置有关，不依赖坐标系的选择。变差缩减性若Bezier

5、曲线的特征多边形是一个平面图形P0P1…Pn，则平面内任意直线与C(t)的交点个数不多于该直线与其特征多边形的交点个数，这一性质叫变差缩减性质。此性质反映了Bezier曲线比其特征多边形的波动还小，也就是说Bezier曲线比特征多边形的折线更光顺。2021/8/6第10部分Bezier曲线Bezier曲线的矩阵表示一次三次二次2021/8/6第10部分Bezier曲线需求计算Bezier曲线上的点，可用Bezier曲线方程，但使用deCasteljau提出的递推算法则要简单的多。基本递推算法抛物线三切线定理Bezier曲线的递推算法1P0P2P11P10P20

6、PBezier曲线上的点2021/8/6第10部分Bezier曲线1P0P2P11P10P20P2021/8/6第10部分Bezier曲线递推性质当t从0变到1时，它表示了由三顶点P0、P1、P2三点定义的一条二次Bezier曲线。二次Bezier曲线P20可以定义为分别由前两个顶点（P0，P1）和后两个顶点（P1，P2）决定的一次Bezier曲线的线性组合。由四个控制点定义的三次Bezier曲线P30可被定义为分别由(P0，P1，P2)和(P1，P2，P3)确定的二条二次Bezier曲线的线性组合2021/8/6第10部分Bezier曲线由(n+1)个控制点

7、Pi(i=0,1,...,n)定义的n次Bezier曲线Pn0可被定义为分别由前、后n个控制点定义的两条(n-1)次Bezier曲线P0n-1与P1n-1的线性组合：由此得到Bezier曲线的递推计算公式这便是著名的deCasteljau算法。Pn0即为曲线P(t)上具有参数t的点。2021/8/6第10部分Bezier曲线0P1P2P3P10P11P12P20P21P30Pn=3时niP的递推关系2021/8/6第10部分Bezier曲线几何作图法求Bezier曲线上一点（n=3，t=1/3）)3/1(30PP=011/30P1P2P3P10P11P12P2

8、0P21P2021/8/6第10部分B