bezier曲线.ppt

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1、曲线与曲面发展过程1963年,美国波音飞机公司,Ferguson双三次曲面片;1964~1967年,美国麻省理工学院(MIT),Coons双三次曲面片;1971年,法国雷诺汽车公司,Bezier曲线曲面;同期,法国雪铁龙汽车公司,deCasteljau也独立研究出与Bezier类似的方法；1974年,美国通用汽车公司,Cordon和Riesenfeld,Forrest,B样条曲线曲面;1975年,美国锡拉丘兹大学,Versprille有理B样条;80年代,美国的Piegl和Tiller,非均匀有理B样条(NURBS)方法.曲线、曲面的基本理论曲线的表示形式非参数表示和参数表

2、示非参数表示显式表示隐式表示曲线曲面的重要基础知识曲线的表示形式曲线的表示形式非参数表示显式表示隐式表示非参数表示方式存在的问题1）与坐标轴相关；2）会出现斜率为无穷大的情形(如垂线)；3）对于非平面的曲线、曲面难以用常系数的函数表示；4）不便于计算机编程。曲线的参数表示形式参数表示:曲线上任一点的坐标均表示成给定参数的函数。假定用t表示参数，平面曲线上任一点P可表示为：空间曲线上任一三维点P可表示为：坐标的矢量形式：一般地,对参数t进行规格化,使t∈[0,1]曲线的参数表示形式如：直线方程的矢量表示如：圆P0P1P(t)01tt反映了P在P0P1间的相对位置θ反映了半径与

3、X轴的夹角P(θ)参数表示的优点参数表示的优点容易确定曲线边界。由参数区间确定表示形式不变性。不依赖于坐标系的选取表示能力强。利于控制点来控制曲线形状，如后面将要学到的Bezier曲线5.1.2切矢量、法矢量、曲率和挠率对于参数方程位置矢量P＝P(t)=[x(t),y(t),z(t)],0≤t≤1导数正则点：k＝1时，对t＝t0，P’(t0)≠0正则曲线：所有点是正则点内容提要切矢量参数t递增一个单位时三个坐标变量的变化量弧长对正则曲线，定义弧长：它的方向与曲线的变化方向一致，即该点处的一阶导数。当切矢量的值超过曲线弦长几倍时，曲线会出现回转或过顶点等现象；当切矢量的值小于

4、弦长许多时，会使曲线过于平坦。弧长参数表示单位切矢量记T(s)为P＝P(s)上任意一点的切矢量。则T(s)为单位切矢量实际上有:从弧长的定义可见,它既与参数t的选取无关,也与坐标系无关,从而以弧长s为参数来表示曲线易于讨论曲线本身固有的性质.证明是单位切矢量法矢量主法矢量：与切矢量垂直副法矢量：垂直于T与N三者满足：B=T×N,T=B×N,N=T×B通过曲线上给定的点,并分别包含矢量T和N,N和B,B和T的平面称为密切平面,法平面和副法平面(化直平面).曲率设曲线上P(s)点处的单位切矢量为T(s)，P(s+Δs）处的单位切矢量为T(s+Δs)，它们的夹角为Δθ，如图所示。

5、曲率P(s)点处的曲率由于△s为弧长，故反映了曲线在区间[s,s+△s]上的平均弯曲程度，称为平均曲率。当△s→0时，得到曲线上P(s)点的曲率k(s)，即k(s)=,其几何意义是曲线的单位的切矢量对弧长的转动率，与主法矢量同向。曲率的倒数1/ρ,称为曲率半径.即是曲率反映的是曲线的弯曲程度.对于直线它的弯曲程度处处为零,从而其曲率处处为零.而对于圆,其上各点的弯曲程度相等,从而其曲率为常数,其曲率半径即等于它的半径。分析推导挠率非平面曲线绕的程度挠率的绝对值等于副法线方向(或密切平面)对于弧长的转动率某点的挠率可以衡量曲线在此点处的扭曲程度。挠率大于0、等于0和小于0分

6、别表示曲线为右旋空间曲线、平面曲线和左旋空间曲线。对曲率和挠率的理解图示插值、拟合、逼近和光顺插值给定一组有序的数据点Pi，i=0,1,…,n，构造一条曲线顺序通过这些数据点，称为对这些数据点进行插值，所构造的曲线称为插值曲线。抛物线插值:已知在三个互异点的函数值为，要求构造一个函数使抛物线在结点处与在处的值相等,求得a,b,c即构造了插值函数。线性插值:假设给定函数f(x)在两个不同点x1和x2的值，用一个线形函数:y==ax+b，近似代替f(x)，称为f(x)的线性插值函数。实例图示插值、拟合、逼近和光顺拟合：构造一条曲线使之在某种意义下最接近给定的数据点(但未必通过这

7、些点)，所构造的曲线为拟合曲线。逼近：在计算数学中，逼近通常指用一些性质较好的函数近似表示一些性质不好的函数。在计算机图形学中，逼近继承了这方面的含义，因此插值和拟合都可以视为逼近。逼近的方法：常用的有最小二乘法实例图示插值逼近光顺(Firing)指曲线的拐点不能太多。对平面曲线而言，相对光顺的条件是：a.具有二阶几何连续性(G2)；b.不存在多余拐点和奇异点；c.曲率变化较小。插值、拟合、逼近和光顺5.1.4参数曲线的代数和几何形式我们以三次参数曲线为例，讨论参数曲线的代数和几何形式。代数形式a3x到a0z这12