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1、4.2Bézier曲线__________________________________________________BézierCurves1962年，法国雷诺汽车公司的P.E.Bezier构造了一种以逼近为基础的参数曲线和曲面的设计方法，并用这种方法完成了一种称为UNISURF的曲线和曲面设计系统，1972年，该系统被投入了应用。Bezier方法将函数逼近同几何表示结合起来，使得设计师在计算机上就象使用作图工具一样得心应手。通过Bezier可以画出复杂形状的曲线，只要给出表示曲线大体走向的点，就可
2、由这些点画出一个多边形，然后通过Bezier公式逼近这个多边形画出所要的曲线。其中的给出的描述曲线大体走向的点称为控制点，这些点连成的多边形称为控制多边形。__________________________________________________4.2.1Bézier曲线的定义和性质1.定义给定空间n+1个点的位置矢量Pi(i=0,1,2,…,n)，则Bézier曲线可定义为：其中，Pi(i=0,1,…,n)构成该Bézier曲线的特征多边形，Bi,n(t)是n次Bernstein基函数：其中，
3、00=1，0！=1。控制顶点特征多边形__________________________________________________BézierCurves__________________________________________________4.2.1Bézier曲线的定义和性质2.Bernstein基函数的性质(1)正性(2)端点性质Bi,n(0)=Bi,n(1)=1,i=00,i≠01,i=n0,i≠n在Bernstein基函数曲线的次数。由排列组合和导数运算规律可以推导出Bern
4、stein基函数的如下性质：中，n为基本__________________________________________________4.2.1Bézier曲线的定义和性质2.Bernstein基函数的性质(3)权性由二项式定理可知：(4)对称性：因为__________________________________________________三次Bézier的调和函数每个函数表示了每个控制点的权值.正性：B0,B1,B2,B3曲线都大于0。端性：当t=0时，B0=1,B1=B2=B3=0当t
5、=1时，B3=1,B1=B2=B0=0对称性：B0和B3,B1和B2对称权性：当t=i时，B0+B1+B2+B3=1B0B3B1B2__________________________________________________4.2.1Bézier曲线的定义和性质2.Bernstein基函数的性质(5)递推性(6)导函数：(7)最大值即高一次的Bernstein基函数可由两个低一次的Bernstein调和函数线性组合而成。Bi,n(t)在t=i/n处达到最大值。___________________
6、_______________________________4.2.1Bézier曲线的定义和性质3.Bézier曲线的性质(1)端点性质曲线端点位置矢量由Bernstein基函数的端点性质可以推得：当t=0时，P(0)=P0；当t=1时，P(1)=Pn;由此可见，Bezier曲线的起点、终点与相应的特征多边形的起点、终点重合。__________________________________________________4.2.1Bézier曲线的定义和性质3.Bézier曲线的性质(1)端点性质
7、切矢量因为：所以：当t=0时，P(0)=n(P1–P0)；当t=1时，P(1)=n(Pn–Pn-1);说明，Bezier曲线起点和终点处的切线方向和特征多边形的第一条边及最后一条边的走向一致。__________________________________________________4.2.1Bézier曲线的定义和性质3.Bézier曲线的性质(1)端点性质二阶导矢因为：所以：当t=0时，P”(0)=n(n-1)(P2–2P1+P0)；当t=1时，P”(1)=n(n-1)(Pn–2Pn-1+Pn
8、-2);说明，Bezier曲线起点和终点处的二阶导矢只与相邻的3个顶点有关。r阶导矢只与r+1个相邻点有关。__________________________________________________4.2.1Bézier曲线的定义和性质3.Bézier曲线的性质(2)对称性由控制顶点构造出的新Bezier曲线，与原Bezier曲线形状相同，走向相反。因为：_______________________________
