抽屉原理精解

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1、第一抽屉原理原理1把多于n个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有2个或2个以上的物体。[证明](反证法)：如果每个抽屉至多只能放进一个物体，那么物体的总数至多是n，而不是题设的n+k(k≥1)，这不可能。原理2把多于mn个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有m+1个或多于m+1个的物体。[证明](反证法)：若每个抽屉至多放进m个物体,那么n个抽屉至多放进mn个物体,与题设不符，故不可能。第二抽屉原理把(mn－1)个物体放入n个抽屉中，其中必有一个抽屉中至多有(m—1)个物体。[证明](反证法)：若每个抽屉都有不少于m个物体，则总共至少有m

2、n个物体，与题设矛盾，故不可能。　　抽屉原理，又叫狄利克雷原则，它是一个重要而又基本的数学原理，应用它可以解决各种有趣的问题，并且常常能够得到令人惊奇的结果，许多看起来相当复杂，甚至无从下手的问题，利用它能很容易得到解决．那么，什么是抽屉原理呢？我们先从一个最简单的例子谈起．　　将三个苹果放到两只抽屉里，想一想，可能会有什么样的结果呢？要么在一只抽屉里放两个苹果，而另一只抽屉里放一个苹果；要么一只抽屉里放有三个苹果，而另一只抽屉里不放．这两种情况可用一句话概括：一定有一只抽屉里放入了两个或两个以上的苹果．虽然哪只抽屉里放入至少两个苹果我们无法断定，但

3、这是无关紧要的，重要的是有这样一只抽屉放入了两个或两个以上的苹果．如果我们将上面问题做一下变动，例如不是将三个苹果放入两只抽屉里，而是将八个苹果放到七只抽屉里，我们不难发现，这八个苹果无论以怎样的方式放入抽屉，仍然一定会有一只抽屉里至少有两个苹果。　　通过上面的分析，我们可以将上面问题中包含的基本原理写成下面的一般形式．抽屉原理（一）：把多于几个的元素按任一确定的方式分成几个集合，那么一定至少有一个集合中，至少含有两个元素．应用抽屉原理来解题，首先要审题，即分清什么作为“元素”，什么作为“抽屉”；其次要根据题目的条件和结论，结合有关的数学知识，来设计

4、抽屉，在应用抽屉原理解题时，正确地设计抽屉是解题的关键．例1有红、黄、绿三种颜色的小球各四颗混放在一只盒子里，为了保证一次能取到两颗颜色相同的小球，一次至少要取几颗？A、3B、4C、5D、6分析：将三种不同的颜色看作三个抽屉，为了保证一次能取到两颗颜色相同的小球，即要求至少有两颗小球出自同一抽屉，因此一次至少要取4颗小球．例2某班有30名学生，班里建立一个小书库，同学们可以任意借阅，问小书库中至少要有多少本书，才能保证至少有一个同学一次能至少借到两本书？A、28B、29C、30D、31分析：将30名同学看作30个“抽屉”，而将书看作“苹果”，根据抽屉

5、原理，“苹果”数目要比“抽屉”数目大，才能保证至少有一个抽屉里有两个或两个以上的“苹果”，因此，小书库中至少要有31本书，才能保证至少有一位同学一次能借到两本或两本以上的图书。注：以上例题中有关“抽屉”和“苹果”的选择比较简单．但在很多情况下，“抽屉”和“苹果”并非一下子就能选好，而是要进行认真的分析与思考才能找到，有时“抽屉”和“苹果”的数目也不是现成的，需要我们通过分析，才能计算出结果例3红色，黄色，绿色的球各6个，混杂地放在一起，要想闭着眼睛从中取出颜色不同的两对球，问至少要取多少才能保证达到要求？A、6B、7C、8D、9红色、黄色、绿色的球各

6、6个，分析：这个问题不能象前面两个例题那样一下就能找到“抽屉”和“苹果”，由于各种颜色的球混合在一起，我们又是闭着眼睛取球，这样，如果取出的球数不多于6个，就有可能取出的球都是同一种颜色，这是最不利的情况，因此，要保证取出颜色不同的两对球，取出的球数必须超过6个，为了保证达到要求，我们从最坏的情况出发，取出的球中有6个都是同一种颜色，这样，问题就变成了怎样才能使余下的球中保证有两个是同颜色的．这时剩下的颜色只有两种，把两种颜色当作两只“抽屉”，而将球当作“苹果”，根据抽屉原则，只要有三个球，就能保证其中有两个是同颜色的，即在最不利的情况下，只要取出9

7、个球，就能保证其中一定有两对颜色不同的小球，在其它情况下，就更无问题了。例4一副扑克牌有四种花色，每种花色各有13张，现在从中任意抽牌。问最少抽几张牌，才能保证有4张牌是同一种花色的？A．12B．13C．15D．16分析：因为扑克牌一共有四种花色，当每次至少抽出4张牌时才可以保证每种花色一样一张，按此类推，当取到12张牌时，就可以保障每种花色一样三张，所以当抽取第13张牌时，无论是什么花色，都可以至少保障有4张牌的同一种花色。例5从一副完整的扑克牌中至少抽出（）张牌才能保证至少6张牌花色相同A、21C、22C、23D、24分析：最坏的情况，第一次抽出

8、大小王和4种不同的花色，第二次抽出四种不同的花色，连续5次这时有22张牌，再任意抽一张出来就能保证至少6张牌