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1、抽屉原理的应用抽屉原理的应用与推广导读：就爱阅读网友为您分享以下“抽屉原理的应用与推广”的资讯，希望对您有所帮助，感谢您对92to.com的支持!?x1??x???设集合S={X??2?:xj?n,j?1,2,?2n}?????x2n???2n?ax??1jj?j?1?2?n????:X?S}ax?2jjD={AX???j?1????2n???anjxj????j?1?映射f:X?AX是一个满射.显然S=(2n?1)2n,因为a1j?{-1，0，1}，所以对每个X?S，它的2n个分量适合10S?D?aj?12nijxj?a1iax??2i
2、2a2i2nx?x1x??xn2≤2n2（i=1,2,?,n）因此D?(4n2?1)n又(2n?1)2n?(4n2?4n?1)n?(4n2?1)n根据抽屉原理10映射形式设A和B是两个有限集，如果A>B那么对从A到B的任何满映射f，至少存在a1,a2,使f(a1)?f(a2).S中至少存在两个不同的元?xj1??xi1??x??x??i2??j2?X?,X?i???j??????????xi2n???xj2n??使f(xi)?f(xj),即AXi?AXj,A(Xi?Xj)?0.??1??xi1?xj1?????x?x??2??i2j
3、2??????，则令?????????2n????xi2n?xj2n????1?10????2???即是我们所要求的，?1,?2,??2n是??????2n??不全为零的整数，且满足ak?xik?xjk?xik?xjk?2n(k?1,2,?,2n).例5设A为n阶方阵，证明存在1?i?n，使秩(Ai)=秩(Ai?1)=秩(Ai?2)?? , 2, ? ,n这n+1个数之一。证明因为n阶方阵的秩只能是0,1令E?A0,A,A2,?,An,An?1,E的个数多于秩的个数，由抽屉原理可知，存在k,l满足1?k<l?n使秩(Ak)=秩(Al
4、),但秩(Ak)?秩(Ak?1)???秩(Al),所以秩(Ak)=秩(Ak?1),利用此式与秩的性质得10秩(ABC)?秩(AB)+秩(BC)-秩(B),这里的A,B,C是任意三个可乘矩阵，用数学归纳法可证秩(Ak?m)=秩(Ak?m?1).其中m为非负整数，故命题的结论成立.秩(Ai)=秩(Ai?1)=秩(Ai?2)=?.3.3集合论中的应用从集合论的原理来讨论抽屉原理,主要应用集合论的映射来阐述抽屉原理,有在倍数问题、几何问题、涂色问题、经济问题等方面的应用，本文主要介绍倍数问题和经济问题。例6（倍数问题的应用）自1至100这一百个自
5、然数中，如果任取51个数，那么其中至少有两个数，使一个数是另一个数的倍数。证明我们知道形如p?2n（p为自然数，n?1,2,?）的数之间有倍数关系，10对任何一个偶数，经反复提取因数2，最后总能表示为：奇数乘以2n的形式，因此设A?{1至100中的51个自然数}B?{B1,B3,?,B99}其中：B1?{1,2,4,8,16,32,64}?{1,1?21,1?22,?,1?28}B3?{3,6,12,24,48,96}?{3,3?21,3?22,3?23,3?24,3?25}B5?{5,10,20,40,80}?{5,5?21,5?22,
6、5?23,5?24}B7?{7,14,28,56}?{7,7?21,7?22,7?23}???B97?{97}B99?{99}?51??P????2,∴对任意f:A?B有ai,aj?A且i?j.?50?使f(ai)?f(aj)?B,即至少存在两个元素同时对应到B中某个Bi中，这两个数必有倍数关系，证毕。例7（经济问题的应用）十七家公司中的每一家公司都要与其余十六家公司洽谈业务，在他们洽谈中所讨论的问题仅三个，而任何两家公司洽谈中所讨论的是同一个问题，证明有三家公司洽谈时所讨论的是同一个问题。10证明设A为某一公司向其十六公司洽谈业务，则m
7、?16，B为洽谈时所讨论的问题，则m?316?p?()?6∴每一家公司与其余十六家洽谈业务时至少对六家讨论的3是某一个问题，若这六家中至少有两家也讨论这一个问题，则原题得证。若六家中没有任何两家讨论这个问题，那么他们之间只能讨论另外两个问题，6又?p?()?3∴这六家中至少有三家在讨论相同的问题，证毕。23.4不等式中的应用10例8若实数x,y,z满足xyz?1，求证:x2?y2?z2?3?2(xy?yz?zx).证明由于x2y2z2?1,所以x2、y2、z2中必存在2个同时不大于1,或者同时??1??1不小于1,不妨设为x2、y2,则有
8、?2?1??2?1??0?x??y?x2?y2?z2?3?2(xy?yz?zx)??x?y?2??1??1??1??1??2?1???2?1???2?1??2?1??0?x??y??y??x?
