课件8-7方向导数梯度

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1、第七节方向导数与梯度一、方向导数二、梯度一、问题的提出一块长方形的金属板，受热产生如图温度分布场.设一个小虫在板中逃生至某问该虫应沿什么方向爬行，才能最快到达凉快的地点？处，解决方法：应沿由热变冷变化最剧烈的方向爬行．需要计算场中各点沿不同方向的温度变化率，从而确定出温度下降的最快方向引入两个概念：方向导数和梯度方向导数问题梯度问题怎样确定由热变冷变化最剧烈的方向？讨论函数在一点P沿某一方向的二、方向导数变化率问题．当沿着趋于时，是否存在？讨论函数在一点P沿某一方向的变化率问题．记为定义的方向导数为同理,沿y轴正向的方向导数在点沿着轴正向若偏导

2、存在,则沿着x轴负向的方向导数是(y轴)而偏导数是双侧极限.原因：方向导数是单侧极限，证明由于函数可微，则全增量可表示为方向导数的存在及计算公式则函数在该点沿任意方向l的方向导数都存在，定理如果函数在点可微分，且有为x轴到方向l的转角．其中计算公式故有方向导数两边同除以得到0令则公式变为方向导数计算公式其中是l的方向余弦.解方向l即为所求方向导数解由方向导数的计算公式知（1）最大值;（2）最小值；（3）等于零？例2求函数在点(1,1)沿与x轴方向夹角为的方向射线l的方向导数.并问在怎样的方向上此方向导数有故方向导数达到最大值方向导数达到最小值方

3、向导数等于0.推广:三元函数方向导数的定义对于三元函数它在空间一点沿方向l的方向导数可定义为其中方向导数的计算公式l的方向导数都存在，且有那末函数在该点沿任意方向若函数在点可微，设例3设在点P沿方向的方向导数.求函数是曲面在点处的指向外侧的法向量,解令故故方向余弦为故三、梯度定义都可定出一个向量称为函数在点的梯度，记为有一阶连续偏导数,则对于每一点方向导数在平面区域D内具设函数设是方向l上的单位向量，其中由方向导数公式知函数的梯度与方向导数间的关系方向导数等于梯度在l上的投影即函数在方向l上的方向导数取得最大值，当时，此时函数增加最快.与方向相

4、反，函数减少最快，函数在方向l上的方向导数取得最小值，即即与方向当时，相同，方向导数是梯度在l上的投影结论当不为零时，x轴到梯度的转角的正切为函数在某点的梯度是这样一个向量，它的方向与取得最大方向导数的方向一致,而它的模为方向导数的最大值．梯度的模为在几何上表示一个曲面曲面被平面所截,得曲线它在xoy面上投影方程：等高线称为等值线.等值线几何上，称为等高线.等高线或等高线的画法等高线的画法等高线的画法等高线的画法等高线的画法等高线的画法等高线的画法等高线的画法等高线的画法等高线例如,等值线上任一点处的一个法向量为梯度方向与等值线的一个法线方向相

5、同，它的指向为从数值较低的等值线指向较高梯度的模就等于函数在这个法线方向的方向导数.的等值线,即梯度方向与法向量相同，此时问题：上山时，如何选择最快的方向？计算方法课程中的一种计算策略：“瞎子下山法”梯度负梯度类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值.梯度的概念可以推广到三元函数解由梯度计算公式得故则在处梯度为例4求函数在点处的梯度,并问在何处梯度为零？一、方向导数（注意方向导数与偏导数的区别）小结1.定义2.计算公式二、梯度（注意梯度是一个向量）定义方向：x轴到梯度的转角的正切模：三、方向

6、导数与梯度的关系方向与取得最大方向导数的方向一致,模为方向导数的最大值.梯度：其中思考题问函数在某点处沿什么方向的方向导数最大？答：梯度方向答：作业P.51习题8-71;4;7;8;10.练习题练习题答案