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1、函数应用题专题1.某工厂要赶制一批抗震救灾用的大型活动板房．如图，板房一面的形状是由矩形和抛物线的一部分组成，矩形长为12m，抛物线拱高为5.6m．（1）在如图所示的平面直角坐标系中，求抛物线的表达式．（2）现需在抛物线AOB的区域内安装几扇窗户，窗户的底边在AB上，每扇窗户宽1.5m，高1.6m，相邻窗户之间的间距均为0.8m，左右两边窗户的窗角所在的点到抛物线的水平距离至少为0.8m．请计算最多可安装几扇这样的窗户？解：（1）设抛物线的表达式为点在抛物线的图象上．∴∴抛物线的表达式为（2）设窗户上边所在直线交抛物线于C、D两点，D点坐标为（k，t）已知窗户高1.6m，∴（
2、舍去）∴（m）又设最多可安装n扇窗户∴．2.某跳水运动员进行10米跳台训练时,身体(看成一点)在空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点O的一条抛物线(图中表示的数据为已知条件).在某个规定动作时,正常情况下运动员在空中的最高处距离水面10米.入水处距离池边的距离为4米.运动员在距离水面高度为5米以前必须完成规定的翻腾动作并调整入水姿势,否则就会出现失误(1)求这条抛物线的解析式(2)某次试跳中测得运动员在空中的运动路线是(1)中的抛物线,且运动员在空中调整好入水姿势时,距离池边的水平距离为3米,问此次跳水会不会失误?并通过计算说明理由解(1);(2)失误.3.在斜坡A处立一
3、旗杆AB(旗杆与水平面垂直),一小球从斜坡O点抛出(如图所示),小球擦旗杆顶B而过,落地时撞击斜坡的落点C,已知A点与O点的距离(二分之根号五),旗杆AB高为3米,C点的垂直高度为3.5米,C点与O点的水平距离为7米,以O为坐标原点,水平方向与竖直方向分别为X轴,Y轴,建立直角坐标系.(1)求小球经过的抛物线的解析式(小球的直径忽略不计)(2)H为小球所能达到的最高点,求OH与水平线Ox之间夹角的正切值.(3)解：（1）作CD⊥OX于D点，HF⊥OX于F，延长BA交OX于E点．根据题意知C（7，3.5），，即OE=2AE，又OA=，根据勾股定理可得AE=，OE=1，所以BE=
4、BA+AE=3.5，B点坐标为B（1，3.5）．设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c．∵抛物线经过点O（0，0）、B（1，3.5）、C（7，3.5），∴解得∴抛物线的解析式为y=-x2+4x
（2）y=-x2+4x=-（x2-8x）=-（x-4）2+8，所以顶点H（4，8），tan∠HOF===2．4.善于不断改进学习方法的小迪发现，对解题进行回顾反思，学习效果更好．某一天小迪有20分钟时间可用于学习．假设小迪用于解题的时间x（单位：分钟）与学习收益量y的关系如图1所示，用于回顾反思的时间x（单位：分钟）与学习收益y的关系如图2所示（其中OA是抛物线的一部分，A为抛物线的顶
5、点），且用于回顾反思的时间不超过用于解题的时间．（1）求小迪解题的学习收益量y与用于解题的时间x之间的函数关系式；（2）求小迪回顾反思的学习收益量y与用于回顾反思的时间x的函数关系式；(1)（3）问小迪如何分配解题和回顾反思的时间，才能使这20分钟的学习收益总量最大?解：（1）由图1，设y=kx．当x=1时，y=2，解得k=2∴y=2x（0≤x≤20）（2）中的收益量y与反思时间x的函数关系必须分段：由图2，当0≤x＜4时，设y=a（x-4）2+16，由已知，当x=0时，y=0∴0=16a+16，∴a=-1∴y=-（x-4）2+16即y=-x2+8x当4≤x≤10时，y=16
6、．因此，当0≤x＜4时，y=-（x-4）2+16；当4≤x≤10时，y=16．（3）设小迪用于回顾反思的时间为x（0≤x≤10）分钟，学习收益总量为y，则她用于解题的时间为（20-x）分钟．当0≤x＜4时，y=-x2+8x+2（20-x）=-（x-3）2+49明显，当x=3时，有最大值49；当4≤x≤10时，y=16+2（20-x）=56-2x，y随x的增大而减小，因此当x=4时，有最大值48．综合以上，当x=3时，有最大值49，此时20-x=17．即小迪用于回顾反思的时间为3分钟，用于解题的时间为17分钟时，学习的总收益量最大5.如图，等腰梯形花圃ABCD的底边AD靠墙，另
7、三边用长为40米的铁栏杆围成，设该花圃的腰AB的长为x米.(1)请求出底边BC的长（用含x的代数式表示）；（2）若∠BAD=60°,该花圃的面积为S米2.①求S与x之间的函数关系式（要指出自变量x的取值范围），并求当S=时x的值；②如果墙长为24米，试问S有最大值还是最小值？这个值是多少？解：（1）∵AB=CD=x米，∴BC=40-AB-CD=（40-2x）(2)①如图，过点B、C分别作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，在Rt△ABE中，AB=x,∠BAE=60°∴AE=x,BE=x.同理DF=x,CF=
