线性代数第二课时习题册课后习题提示

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1、线性代数习题提示在本习题提示中，我们将参考三本书：1.线性代数，居余马等，简称《教材》2.线性代数学习指南，居余马等，简称《指南》3.线性代数学习指导及习题解答，中国海洋大学数学科学学院线性代数课题组，简称《习题册》第二章习题册习题提示四.习题（一）填空题1.根据矩阵乘法规则计算即可2.对于一般的矩阵因此当时，才有3.是矩阵，因此是矩阵4.根据矩阵加法，乘法，转置规则计算即可5.根据矩阵加法，乘法，转置规则计算即可6.，代入计算即可7.因为因此可得8.根据题意事实上都是矩阵，由分块矩阵的乘法可得因此由范德蒙行列式求解公式可得128.因为A为3阶方阵，由矩阵数乘定义可得9.由矩阵求

2、逆公式得10.因为A为3阶方阵，由矩阵数乘定义可得因为A为可逆矩阵，因此由得且12.因为A为3阶可逆矩阵，因此由得13.因为A为3阶可逆矩阵，因此由得代入题目中的用初等变换求逆矩阵法求解即可14.由得，即15.由得，即1212.因为A为3阶可逆矩阵，由得代入题目中的A用初等变换求逆矩阵法求解即可13.，因此14.由对角分块矩阵的求逆公式可得代入求解即可（二）选择题1.根据矩阵加法，数乘，转置规则计算即可2.根据对角矩阵乘积等于对应对角元乘积计算即可3.矩阵为同型矩阵才可加，矩阵可乘当且仅当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数4.A.因为零矩阵乘任何矩阵都为零矩阵，因此反之不一定成

3、立，反例：《教材》第53页例3B.反之不一定成立，反例：C.成立，D.不一定成立，反例：5.由可知，因此A，B，C成立，D不成立6.A.不一定成立，反例：12B.成立，比如此例：C.不一定成立，反例：D.不成立，若不可逆，则，因此A，B至少有一个可逆1.由，即，根据矩阵与其逆矩阵可交换得即2.A.不一定成立，反例：B.不一定成立，由得，A，B不一定可交换C.成立，若则结论成立，若则A可逆，因此由得，因此D.成立，由得，因此至少有一个为奇异矩阵3.对先左乘，后右乘得，对两边取逆得对先左乘，后左乘得，因此C成立4.A.B.C.D.由得，这不一定成立5.A.不一定成立，反例：，则12B

4、.不一定成立，反例：，则C.不一定成立，反例：，则D.因此成立12.因为可以看出对两个矩阵的代数余子式而言有如下关系：，因此由公式得若B不可逆，设，则12因此，因此线性相关，即，因此，则若B可逆，则13.由得，因此14.(1)(2)(3)(4)因此(1)，(3)错误15.由得，即，又因为因此，即，因此16.17.18.12对矩阵做初等行变换相当于左乘对应的初等矩阵，对矩阵做初等列变换相当于右乘对应的初等矩阵，因此得，因此19.这里我们假设A，B矩阵都可逆，事实上即使A，B矩阵都不可逆，根据伴随矩阵的定义结论也成立，由于本题为选择题，因此可以直接用可逆矩阵来计算（三）计算题1.利用

5、矩阵乘法计算即可2.3.利用矩阵的结合律得4.根据矩阵多项式的定义得，代入矩阵A求解即可5.因为，因此代入矩阵A求解即可6.根据对矩阵做初等行变换相当于左乘对应的初等矩阵，对做初等行变换，当矩阵A化为单位矩阵时，矩阵I化为7.由得，因此，对做初等行变换，当矩阵化为单位矩阵时，矩阵A化为8.由得，即，因此，对做初等行变换，当矩阵化为单位矩阵时，矩阵I化为9.因为矩阵A可逆，因此由得，因此12对做初等行变换，当矩阵化为单位矩阵时，矩阵I化为10.根据分块矩阵性质与行列式求和公式可得11.设其中根据分块矩阵乘积公式可得代入对应矩阵具体数值求值即可12.用矩阵的初等行变换求逆矩阵可得因此

6、（四）证明题1.(1)由得，因此(2)由得可逆，因此2.(1)由得，即因此，得可逆(2)由得因此，代入矩阵B求解即可123.由得注意到可得因此即1.(1)代入P，Q，并结合A非奇异计算可得(2)由公式可得，说明矩阵P非奇异，同理可得若Q可逆，由P可逆得，因为得若，可得，即Q可逆五．同步测试题（一）填空题1.根据矩阵求和、数乘、乘积与转置的定义计算即可2.由得因此代入矩阵A求解即可3.4.由得，即因此2.12（二）选择题1.由得，因此2.3.(1)(2)(3)同(1)(4)因此正确的命题是(1)，(2)4.A.正确，B.不正确，，因为与不一定相等，因此一般来说C.正确，因为，等式两

7、边乘以得D.正确，由C中结论可得5.对矩阵做初等行变换相当于左乘对应的初等矩阵，因此得，其中为初等对换矩阵，因此对矩阵做初等列变换相当于右乘对应的初等矩阵，因此交换12的第一列与第二列得（三）计算题1.根据对矩阵做初等行变换相当于左乘对应的初等矩阵，对做初等行变换，当矩阵A化为单位矩阵时，矩阵I化为2.用初等行变换求逆矩阵可得上式后6列即为A的逆矩阵3.由得代入矩阵B，C利用初等变换求逆即可4.（四）证明题1.参见《习题册》第51页2.参见《习题册》第51页1212