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1、第三章问题:如何把矩阵对角化？讨论矩阵的对角化性质aaa!2…0…0AA=a2l…a2n变换v0…0♦••♦••••••••r••••••••••••%…ann7<00…人丿问题一：定义在什么样的变换下讨论对角化？问题二：矩阵对角化的条件？问题三：对角化的矩阵如何确定？SteplX具一：特征值和特征向量Stepl.l特征值和特征向量（定义3.1）AX=2Xo（A—〃）X=01.2特征值和特征向量的求法（定义3.2）第一步：求JW
2、A/-A
3、=0=>2=第二步：求解（引-A）X=01・3特征值和特征向量的性质（定理3丄定理3・2,定理3・3,定理3・4）特征向呈的相互关系线鰹跌—特征值的作用«刘
4、恥=人+人+…+人,国=入人…人,特征值的求解是兰J创勺特征值为2特征向量为x=>财穴/+际”+・・・+审+皿+心„、的特征值是k^Am^A+AB.kmA,n+---+M2+/2+心，里，2‘AAX=AX^>kAX=iaxA（AX）=AAX=AAX=TX同ffl/TX=AN,X（A+B）X=^aX+AbX=（Aa+Ab）X由nyrfri（C"‘HFk2A~+VA+R（））X=（匕才"hfk2^2+kJ+心）XA"AX=A"2X=>A"Xm“AX=aTx=>凶X=心2Step2工具二：相似变换和相似矩阵Step2.1相似的定义（定义3.3）3PnJ*逆矩阵，使得圮4PB=B,2.2相似矩阵的性
5、质（定理3.5,性质3.2）AB=>Z4=^B,A=
6、B
7、,rr（A）=tr（B）Step3矩阵的对角化Step3.1矩阵对角化的条件（定理3・6,推论3・2,定理3・7）3.2矩阵对角化A如何在和似变换下对角化廿可逆矩阵，使得=AAAG0…0>0入…0A=-•••••••<°°…人丿P二（心是线性莎关的特征向量可逆AP=A（X
8、,兀2,•…耳）=（4召，人尤2，・・・人兀）一（人"人兀2'…人£）一（兀1，兀2，…）=PA0AP=PAnhAP=A入是特征值习题亘3.1求下列矩阵的特征值和特征向量「56-3_21⑴(2)-10112J1121111r"1312■()0r11-1-1(3)0
9、10(5)0-1131-1I-110000251-1-111―0002⑷（1）解特征方程兄-2—12-2-1Mz、2-2—1==(八3)-1兄■22-32-311AE-A对于特征值入=1,解齐次线性方程组（2E-A）x=0.其系数矩阵=(2-3)(2-1)=0,AE-Ap1]可见特征向量为兀=、（）（）丿3,AE-A=(1-1>Tq-1、，可见特征向量为x==k.T1><00丿&丿J丿仏工0）・对于特征值易=k^1>I&H0)•1丿⑵解特征方程A-5AE-A=1-1-6-23-1A—132-622—20-12-2=(久-2)210-111301302『02-20=U-2)3010011
10、011(久一2)3得特征值2=2,2,2.对于特征值几=2,2,2,解齐次线性方程组(aE-A)x=0.其系数矩阵r-3-63、q2-pAE-A=12-1000i一1一21)Xz、()0()丿<2k、<2、(()]可见特征向量为x=-1+12人2/3丿z⑶解特征方程(业2不全为°)・2—1-1-1-1A—1-1-1-1-12-1112-2A-200-112—112-20A-20-111A—12—2002—2AE-A=2-11-11-1-12+210001()()00=(12)1010=(几-2)-101010011001=(2-2)3(2+2)得特征值2=-2,2,2,2.<-31-1
11、0r-31-11><-3-1-1n<0000〕-1-311-4-40011001100T—>T-11-31-40-4010101010l-l11<-400-4；<1001><1001丿对于特征值A=-2,解齐次线性方程组(2E-A)x=0・其系数矩阵AE-A=<1可见特征向量为x=-k、=k-1-1&H0)•1-1-1-1、r-i-i-八-11110000对于特征值z=2,2,2,AE-A=T-11110000、一1111;、0000丿‘1、Tk2100%=^20+心101忍丿©、0丿<1>可见特征向量为X=(*2*3*4不全为。)・2(4)
12、/IE-A
13、=0-10A-10-10202-10
14、A-10-102-1=(2-1)201-10=(11)2(2+1)1特征值入=—1,22=入=1・<10-prl0-1、=右=1,AE—A=000->0001-10J)00/2-1-3-1-2・特征向量x=k对于入15、2E-A
16、=2+100-1A-20-3-52—2=(2-1)(2+1)(2-2)2r-l0-1、‘101、<-n0-20—>010,特征向量x=k
