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1、线性代数课后题详解第一章行列式1.利用对角线法则计算下列三阶行列式：相信自己加油（1）；（2）（3）；（4）.解注意看过程解答（1）==（2）（3）（4）2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：耐心成就大业（1）1234；（2）4132；（3）3421；（4）2413；（5）13…24…；（6）13……2.解（1）逆序数为06363（2）逆序数为4：41，43，42，32（3）逆序数为5：32，31，42，41,21（4）逆序数为3：21，41，43（5）逆序数为：321个52，542个72，74，763
2、个…………………2，4，6，…，个（6）逆序数为321个52，542个…………………2，4，6，…，个421个62，642个…………………2，4，6，…，个3.写出四阶行列式中含有因子的项.解由定义知，四阶行列式的一般项为，其中为的逆序数．由于已固定，只能形如□□，即1324或1342.对应的分别为或和为所求.4.计算下列各行列式：多练习方能成大财（1）；（2）；（3）；（4）解(1)=6363==0(2)=0(3)===(4)===5.证明:(1)=;(2)=;6363(3);(4);(5).证明(1)(2)6363
3、(3)(4)=====(5)用数学归纳法证明6363假设对于阶行列式命题成立，即所以，对于阶行列式命题成立.6.设阶行列式,把上下翻转、或逆时针旋转、或依副对角线翻转，依次得，，，证明.证明 同理可证7.计算下列各行列式（）：6363(1),其中对角线上元素都是，未写出的元素都是0；(2);(3);提示：利用范德蒙德行列式的结果．(4);(5);(6),.解(1)6363()(2)将第一行乘分别加到其余各行，得再将各列都加到第一列上，得(3)从第行开始，第行经过次相邻对换，换到第1行，第行经次对换换到第2行…，经次行交
4、换，得此行列式为范德蒙德行列式6363(4)由此得递推公式：即而得(5)6363=(6)63638.用克莱姆法则解下列方程组：解 (1)63636363(2)()6363．9.有非零解？解，齐次线性方程组有非零解，则即得不难验证，当该齐次线性方程组确有非零解.10.有非零解？解6363齐次线性方程组有非零解，则得不难验证，当时，该齐次线性方程组确有非零解.第二章 矩阵及其运算1．已知线性变换：求从变量到变量的线性变换．解由已知：故2．已知两个线性变换求从到的线性变换．解 由已知所以有63633．设,求解4．计算下列乘积
5、：(1);(2);(3);(4);(5);(6).解(1)(2)6363(3)(4)(5)(6)5．设,，问：(1)吗?(2)吗?(3)吗?解(1),则(2)但故(3)而6363故6．举反列说明下列命题是错误的:（１）若,则;（２）若,则或;（３）若,且,则.解(1) 取,但(2) 取,但且(3) 取且但7．设,求.解利用数学归纳法证明:当时,显然成立,假设时成立,则时由数学归纳法原理知:8．设,求.解首先观察6363由此推测用数学归纳法证明:当时,显然成立.假设时成立，则时，由数学归纳法原理知:9．设为阶矩阵，且为对
6、称矩阵，证明也是对称矩阵.证明 已知：则从而也是对称矩阵.10．设都是阶对称矩阵，证明是对称矩阵的充分必要条件是.证明 由已知：充分性：即是对称矩阵.必要性：.11．求下列矩阵的逆矩阵：(1)；(2)；(3);6363(4); (5);(6)解(1)故(2)故存在从而(3),故存在而故(4)6363故(5)故存在而从而(6)由对角矩阵的性质知12．解下列矩阵方程：(1) ;(2) ;6363(3) ;(4) .解(1) (2) (3) (4) 13．利用逆矩阵解下列线性方程组:(1)(2)解 (1) 方程组可表示
7、为故6363从而有(2)方程组可表示为故故有14．设(为正整数),证明.证明 一方面，另一方面，由有故 两端同时右乘就有15．设方阵满足,证明及都可逆,并求及.证明 由得两端同时取行列式:即 ,故 所以可逆,而故也可逆.由又由636316．设,,求.解 由可得故17．设,其中,,求.解 故所以而故18．设次多项式,记称为方阵的次多项式.(1)设,证明:,;(2)设,证明:,.证明(1)i)利用数学归纳法.当时命题成立,假设时成立,则时故命题成立.ii)左边6363=右边(2) i) 利用数学归纳法.当时成立假设
8、时成立,则时成立,故命题成立,即ii)证明右边=左边19．设阶矩阵的伴随矩阵为，证明：(1) 若,则;(2) .证明(1) 用反证法证明．假设则有由此得这与矛盾，故当时有(2) 由于,则取行列式得到:若则若由(1)知此时命题也成立故有20．取,验证检验:而 6363故 21．设,求及解 ，令则故22．设阶矩阵及阶矩阵都可逆,求．解
