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Chapter4-2风险衡量的数量方法损失资料的收集与整理损失资料的描述风险衡量指标损失频率与损失幅度的估算本章主要内容1获得损失分布的一般过程年度总损失分布及随机模拟 四、损失频率与损失幅度的估测（一）每年损失事故发生的次数损失次数可使用二项分布、泊松分布等来估计。1、用二项分布估测损失次数假设n个风险单位均遭到同一风险的威胁。如果n个风险单位在一年中发生所述的风险事故的次数为X，且满足下列条件：（1）每个风险单位发生同样风险事故的概率相同，设为p；（2）任一风险单位发生风险事故都不会影响其他风险单位发生同样风险事故（独立性）；（3）同一个风险单位在一年中发生二次以上的事故可能性极小，可以认为这一概率为零。则X为一服从二项分布的随机变量，且分布律为其中q=1-p是标的一年中不发生事故的概率。 关于二项分布的两个极限分布：A.棣莫弗—拉普拉斯定理设随机变量则对任意x,有意义:当n很大而p又不太小时,二项分布可用正态分布来近似. B.泊松定理运用二项分布估测风险事故发生次数的概率时，要求每个风险单位每年仅发生一次事故，而实际上每一风险单位每年都有可能发生多次致损事故，而且当发生风险事故的独立单位数n很大时，二项分布的计算会很繁杂，因此：n大，p小，而乘积=np大小适中（0.1-10），二项分布可用泊松分布来近似计算关于二项分布的两个极限分布： 2、用泊松分布估测损失次数设有众多风险单位，每一风险单位发生事故的概率相同，每年估计平均发生λ次风险事故，则一年中发生致损事故数X为一服从参数为λ的泊松分布，分布律为k=0,1,2…该分布的期望与标准差分别为和。e=2.71828，k可无限取值，不限制事故次数。关键问题是通过损失资料获得λ的估值，例如一个车队在过去的三年内共发生二次碰撞事故，即每年平均约2/3次，则λ估值为2/3。 63、负二项分布在事件A发生的概率为p的独立重复随机实验中，若以X记A第k次出现时的试验次数，则X为随机变量，它可能取的值为k,k+1,…，其X的概率分布为帕斯卡分布（负二项分布）。 7负二项分布在保险业务中主要用来描述当承保风险属于非同质时赔款的发生概率。教材p156例：观察10万份保单，按其在一年中的索赔次数进行分组，见表。已知平均索赔次数为0.12318，方差为0.125707，分别用泊松分布和负二项分布来拟合索赔频数，看哪一种更适合。 810万份保单的观察结果索赔次数保单数拟合频数泊松分布负二项分布0885858841188597110577108901054427796718063542750441351————总保单数100000 （二）每次事故的损失金额风险事故发生的次数是离散型随机变量，全部可能发生的次数与其相应的概率都可以一一列举出来，但每次风险事故所致的损失金额一般来说不能全部列举，它是连续型随机变量，只可以在某一区间取值，只可以确定在某一区间的概率，而不是某一特定值的概率。估测每次事故的损失金额，我们主要利用正态分布、对数正态分布等，计算出一次事故中损失金额可能取值的范围及其概率。 正态分布：指变量的频数或频率呈中间最多，两端逐渐对称地减少，表现为钟形的一种概率分布。从理论上说，若随机变量x的概率密度函数为：则称x服从均数为μ，标准差为σ2的正态分布。1、用正态分布估测损失额 标准正态分布与正态分布的转换标准正态分布：指均数为0，标准差为1的正态分布。常称z分布或u分布。标准正态分布与正态分布的转换公式：即若x服从正态分布N（μ，σ2），则z就服从均数为0，标准差为1的正态分布。 正态分布曲线下的面积μ±σ范围内的面积为68.27%μ±1.96σ范围内的面积为95%μ±2.58σ范围内的面积占99% 例3；某地若干年间夏季出现暴雨共84次，每次暴雨以一天计算，一个夏季（5~9月）共153天。表每次暴雨造成的损失频率分布表，试估算下次暴雨的（1）期望损失；（2）损失额落在什么区间的概率为95%；（3）损失额大于100万的概率的多大？ （1）用损失资料的平均值去估计正态分布的数学期望 ，因而下一次暴雨的期望损失是81.19万元。（2）由于标准差故根据正态分布的特点，损失额落在（81.19－32.95×1.96，81.19+32.95×1.96）,即落在(16.61,145.78)内的概率为95%。 （3）损失分布是N（81.19,32.95），损失值X大于100万的概率，即是标准正态分布的分布函数，已编制成表可供查阅，经查，即P{x＞100}=1－0.7157=0.2843，所以损失值大于100万的概率为0.2843。其中 附：列维—林德伯格中心极限定理及应用若X1,X2,‥,Xn相互独立,服从同一分布,且具有相同的数学期望和方差：则随机变量的分布函数Fn(x)收敛到标准正态分布.即对任意x满足 列维—林德伯格中心极限定理的应用某类赔款的平均规模为400元，标准差为1000元，计算85笔相互独立的赔款之和大于49000元的概率。 正态变量的线性变换具有不变性定理：设X1,X2,‥,Xn是n个相互独立的随机变量,若，则（Ki不全为0）当随机变量独立同分布，Ki为1和时： 若总体，X1,X2,‥,Xn是取自总体X的样本,，则（1）（2） 区间估计的实质假设某个总体的均数为µ，需要找到两个量A和B，使得在一个比较高的可信度下(如95%)，区间(A,B)能包含µ。即P(A<µ100），t分布近似u分布，可以u界值代替t界值，估计总体均数的可信区间。P176例题 例：某地为了估计七岁男童的平均身高（总体均数），研究者从所有符合要求的七岁男童中抽取100人，测得这100个男童的平均身高为120.18cm，标准差4.33cm。求置信度为95%的该地区7岁男童平均身高的可信区间。 所需暴露单位的数量（样本容量）置信区间的估计，区间越小越好，置信度较低，显著水平较高人们常常对区间有所规定，损失必须控制在某一区间，或者说对实际损失与预期损失之间的差做出规定和限制（误差限）p178 某保险公司在承保一宗瓷器运输险时，想要以95%的可靠性估算运输过程中的平均损失金额，从以往的资料中发现，损失标准差s=40元，现要求估计误差限不超过8元，需要抽取多少样本才能满足要求？p178 样本容量较小，总体为正态分布，估计总体方差此时统计量为则区间估计如下：（2）总体方差的估计 2、用对数正态分布估测损失值很多损失分布并不是正态分布，而常常是分布密度呈右偏状，即小额损失发生概率大，大额损失发生概率小，如对数正态分布。对数正态分布是其对数为正态分布的任意随机变量的概率分布。如果Y是对数正态分布，则log(Y)为正态分布。对于x>0，对数正态分布的概率分布函数为其中μ与σ分别是变量取对数后的平均值与标准差。随机变量的期望值：标准差 利用对数正态分布来估测损失值与正态分布相比要复杂得多，我们将用一个示意的例子来学习估测方法。假设企业过去火灾损失数据为：2，2，3，3，3，3，3，3，4，4，4，4，5，5，5，5，6，6，6，7，7，8，9，其频率分布表如下： 对每个数据取自然对数得到另一个序列：0.693,0.693,0.693,1.099,1.099,1.099,1.099,1.099,1.099,1.386,1.386,1.386,1.386,1.386,1.609,1.609,1.609,1.609,1.792,1.792,1.792,1.946,1.946,2.079,2.197。新数据的分组及其他相关数据 因其取对数的数据构成的经验分布与正态分布近似，故取对数后损失服从N（1.39,0.462），这样火灾损失服从参数为1.39，0.462的对数正态分布。对数正态分布的数学期望等于，标准差等于故损失的平均值为4.46（单位），未来损失落在的概率为68.27％落在内的概率为95％。如果要计算未来损失额大于7的概率，根据对数正态分布的分布函数F（x），可得 （一）经典统计方法基于总体信息和样本信息的统计推断被称为经典统计学。基本观点：将样本看做是来自具有一定概率分布的总体研究对象：总体（并不局限于数据本身）经典统计学派的假设检验思想:经典统计学派运用反证的思想进行推断，即：在认定一次实验中小概率事件不会出现的前提下，若观察到的事件是H0为真时不合理的小概率事件，则拒绝H0。五、获得损失分布的一般过程 经典统计方法获得损失分布的大体轮廓1选择分布类型2估计参数，确定概率分布3对分布及参数进行检验4 Ⅰ获得损失分布的大体轮廓1将数据从小到大排列，按照一定的标准分组后做成频率直方图。3频率直方图和频率折线都是密度函数的近似，通过光滑过程可以得到概率密度曲线。2将每个直方柱的上端中点连接起来，就做成了概率折线。 Ⅱ选择分布类型TEXTTEXTTEXTTEXTTEXT根据概率密度曲线非常直观地大致确定其分布族 Ⅲ估计参数，确定概率分布矩法估计极大似然法原点矩中心矩 经典统计方法近似服从自由度为n-r-1的卡方分布，其中r为所选择的概率分布中参数的个数。Ⅳ对分布及参数进行检验（卡方检验） 例题经典统计方法设某保险人经营某种车辆险，对过去所发生的1000次理赔情况，平均理赔额为2200元，将个体理赔额分为5档，各档的数值范围与次数如下表：试用卡方检验判断是否能用指数分布模拟个体理赔额的分布？ （二）贝叶斯方法贝叶斯方法贝叶斯方法是利用总体信息、样本信息和先验信息进行统计推断的。其重要特点是在对概率密度函数的参数进行估计时，将其看作是一个随机变量，可以用一个概率分布去描述，这个分布就称为先验分布。先验信息即是抽样（试验）之前有关统计问题的一些信息。一般说来，先验信息来源于经验和历史资料。 1、未知参数视为随机变量，根据先验信息确定先验分布f()，不依赖于样本2、取样本x1…xn，可得联合条件概率函数f(X|)，是随机变量4、样本X和参数的联合分布密度函数为f（X,）5、利用Bayesian公式求后验分布密度f(|X)6、使用后验分布做推断（参数估计、假设检验）基本思想： *贝叶斯方法贝叶斯方法下面我们用贝叶斯方法来估计参数,从而获得损失分布.设损失变量X的分布类型为，连续情形下相应的密度函数为1、选择先验分布设的先验分布函数和密度函数分别为、，它们是建立在研究者关于该参数的知识和经验的基础上，如果对其发生的概率没有任何信息，贝叶斯本人建议采用“同等无知”的原则使用区间（0，1）上的均匀分布U（0，1）作为该参数的先验分布。 *贝叶斯方法贝叶斯方法2、确定似然函数似然函数是将样本的联合概率函数看成的函数。通过对似然函数求导，令其导数为零，可求得该概率的最大值，从而求得的极大似然估计。 *贝叶斯方法贝叶斯方法3、确定参数的后验分布通过前面所温习的贝叶斯公式，我们可以得到参数的后验分布为了便于计算分母的积分，我们通常在共轭分布族中选择参数的分布。 先验分布的共轭分布选取法后验分布和先验分布是同一个类型P161已知：，选若f(x|)服从二项分布，选Beta分布若f(x|)服从泊松分布，选Gamma分布若f(x|)服从指数分布，选逆Gamma分布若f(x|)服从正态分布，选正态分布P161 *贝叶斯方法贝叶斯方法4、选择损失函数并估计参数首先我们来定义“损失”和“损失函数”——这里的损失是指参数真实值和估计值之间差距的严重程度。 P162三种常用损失函数及其对待估参数的贝叶斯估计平方损失：参数的估值为后验均值绝对误差损失：参数的估值为后验分布的中位数点损失：参数的估值为后验分布的众数 *经典统计方法与贝叶斯估计：例1贝叶斯方法假设X表示n次伯努利试验中成功的次数，设每次成功的概率为p,则X~B（n,p)。根据仅有的一次观测记录x来估计未知参数p。（1）试求p的最大似然估计；（2）在假定p的先验分布为均匀分布下求其贝叶斯估计。 例2假设某工业区一年的火灾法身情况可以用一个泊松分布来描述，其中泊松分布的参数表示火灾发生的强度，即每一月发生火灾的次数，则的先验分布为：0.20.30.40.6概率0.50.30.150.05现在为了做好安全防范工作，某调查局对该工业区的火灾情况的发生次数进行为期1年的观察，发现共发生4次。 1、保险公司的老年人寿保险一年有一万人参加，每人每年交40元。若老人死亡，公司付给受益人2000元。设老人死亡的概率为0.017，试求保险公司在这次保险中亏本的概率。课堂作业： 2、假如某保险公司有10000个具有同类风险的人参加人寿保险，每人每年付12元保险费，在一年内一个人死亡的概率为0.006，死亡时，其家属可向保险公司领得1000元。试问：平均每户支付赔偿金5.9元至6.1元的概率是多少？保险公司亏本的概率有多大？ 3、假定有一个拥有10辆汽车的车队，根据以往的经验，汽车队约每年有一次碰撞事故，试估算汽车队一下年度碰撞次数的分布状况。 4、据统计，某村因遭受自然灾害，每次所损失的金额如下所示：试用正态分布估算：1、期望损失；2、损失额落在什么区间的概率为95%；3、损失金额在4500-6000元的概率损失金额（百元）5-1515-2535-3535-4545-5555-6565-75次数2928302151
